željko je napisao:[dispmath]1.)\quad\int\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}\mathrm dx[/dispmath]
Kod ovakvih integrala primenjuješ onaj postupak po kojem kvadratni trinom [inlmath]x^2+px+q[/inlmath] zapisuješ u kanoničkom obliku, [inlmath]\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4}[/inlmath]. Ili, konkretno,
[dispmath]2x-x^2=-\left(x^2-2x\right)=-\left[\left(x^2-2x+1\right)-1\right]=-\left[\left(x-1\right)^2-1\right]=1-\left(x-1\right)^2[/dispmath]
Uvedeš smenu [inlmath]x-1=t[/inlmath] i rešen integral...
željko je napisao:[dispmath]2.)\quad\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+x+1\right)^3}[/dispmath]
Kod ovog ima malo više da se objašnjava, pa mi je najlakše da ti ispišem veći deo postupka. Radiću kao da je integral neodređen, a tebi posle prepuštam da uneseš granice integraljenja i izračunaš konačno rešenje.
Dakle, neodređeni oblik tog integrala bio bi
[dispmath]I_3=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+x+1\right)^3}[/dispmath]
(Uveo sam oznaku [inlmath]I_3[/inlmath] tako da ova trojka u indeksu označava da u imeniocu imamo treći stepen – videćemo kasnije da je ovakva oznaka zgodna jer će nam se tokom postupka pojaviti i [inlmath]I_2[/inlmath], koji predstavlja isti takav integral, samo s kvadratom u imeniocu.)
Nakon transformacije kvadratnog trinoma u kanonički oblik, kao u prethodnom integralu, ovaj integral postaje
[dispmath]I_3=\int\frac{\mathrm dx}{\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt 3}{2}\right)^2\right]^3}[/dispmath]
Uvodimo smenu [inlmath]x+\frac{1}{2}=t[/inlmath], a konstantu [inlmath]\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath] obeležimo sa [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]I_3=\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}[/dispmath]
I onda ga dalje rešavamo na sledeći način:
[dispmath]I_3=\frac{1}{a^2}\int\frac{a^2\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}=\frac{1}{a^2}\int\frac{\left(t^2+a^2-t^2\right)\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}=\frac{1}{a^2}\int\frac{\cancel{\left(t^2+a^2\right)}\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^{\cancel 32}}-\frac{1}{a^2}\int\frac{t^2\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}[/dispmath][dispmath]I_3=\frac{1}{a^2}I_2-\frac{1}{a^2}\int t\frac{t\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}[/dispmath]
Integral [inlmath]\int t\frac{t\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}[/inlmath] rešavamo parcijalnom integracijom:
[inlmath]u=t\\
\mathrm du=\mathrm dt\\
\mathrm dv=\frac{t\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}\\
v=\int\frac{t\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}=\frac{1}{2}\int\frac{2t\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm d\left(t^2+a^2\right)}{\left(t^2+a^2\right)^3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-2\left(t^2+a^2\right)^2}=-\frac{1}{4\left(t^2+a^2\right)^2}[/inlmath]
[dispmath]\int t\frac{t\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^3}=-\frac{t}{4\left(t^2+a^2\right)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+a^2\right)^2}=\frac{1}{4}\left[-\frac{t}{\left(t^2+a^2\right)^2}+I_2\right][/dispmath]
Uvrstimo to u prethodni izraz za [inlmath]I_3[/inlmath],
[dispmath]I_3=\frac{1}{a^2}I_2-\frac{1}{4a^2}\left[-\frac{t}{\left(t^2+a^2\right)^2}+I_2\right][/dispmath][dispmath]I_3=\frac{t}{4a^2\left(t^2+a^2\right)^2}+\frac{3}{4a^2}I_2[/dispmath]
Tebi prepuštam da, potpuno identičnim postupkom, odrediš [inlmath]I_2[/inlmath]. Treba da se dobije
[dispmath]I_2=\frac{1}{2a^3}\mathrm{arctg}\frac{t}{a}+\frac{t}{2a^2\left(t^2+a^2\right)}[/dispmath]
Na kraju to uvrstiš u izraz za [inlmath]I_3[/inlmath], vratiš smenu [inlmath]t=x+\frac{1}{2}[/inlmath], kao i konstantu [inlmath]a=\frac{\sqrt 3}{2}[/inlmath], uvedeš zadate granice integraljenja...