Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Određeni integral s limesom unutra

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Određeni integral s limesom unutra

Postod desideri » Sreda, 18. Mart 2015, 03:06

Evo jednog prastarog zadatka:
[dispmath]I=\int\limits_0^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
Ja sam ga svojevremeno radio ovako:
[dispmath]I=\int\limits_0^1\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx+\int\limits_1^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
Smatrao sam da je granična vrednost ispod prvog integrala jednaka [inlmath]x^2e^x[/inlmath] a ispod drugog da je nula, pošto [inlmath]x^n\to0[/inlmath] kada je [inlmath]0\le x<1[/inlmath] i [inlmath]x^n\to\infty[/inlmath] kada je [inlmath]1<x\le2[/inlmath]. Elegantno sam preskočio [inlmath]x=1[/inlmath]. Dobije se integral koji se lako rešava uz dve parcijalne integracije:
[dispmath]\int\limits_0^1x^2e^x\mathrm dx=e-2[/dispmath]
Pošto je takvo rešenje bilo i u zbirci, nisam ja to dalje ni proveravao. E, sad se pitam da li je to baš tako :think1:. Šta mi je uopšte i trebalo da sređujem podrum, ne bih ni našao svoju staru svesku s ovim zadatkom.
Zaista, šta se dešava kada je [inlmath]x=1[/inlmath]? Podintegralna funkcija [inlmath]f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}[/inlmath] u toj tački definitivno ima prekid. Njena vrednost iznosi:
[inlmath]f(1)=\frac{e}{2}[/inlmath]. Malo levo od jedinice njena vrednost je [inlmath]e[/inlmath]. Malo desno od jedinice vrednost je [inlmath]0[/inlmath]. To znači da je u toj tački ispunjen Dirihleov uslov:
[dispmath]f(x_0)=\frac{f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2}[/dispmath]
Dobro, pa? Mis'im, tačka ko tačka, neće ni uticati na vrednost određenog integrala, samo da se ne skoči u zagrljaj gospođici Asimptoti Vertikalnoj. Možda je ovo moje razdvajanje na dva integrala čak i korektno. Ili, nije valjda da je trebalo pisati na početku (deluje mi malo previše):
[dispmath]I=\lim_{\epsilon\to0^+}\int\limits_0^{1-\epsilon}\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx+\lim_{\epsilon\to0^+}\int\limits_{1+\epsilon}^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
i onda dalje sve isto... Šta vi mislite?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Određeni integral s limesom unutra

Postod Onomatopeja » Subota, 22. Oktobar 2016, 22:33

Mozes sve posmatrati na sledeci nacin (neke stvari ponavljam o kojima si vec pisao, no zbog šire slike to cinim):

Neka je [inlmath]\displaystyle f_n(x)=\frac{x^2 e^x}{1+x^n}[/inlmath] i [inlmath]f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)[/inlmath]. Tada je [inlmath]f(x) = \begin{cases} x^2 e^x, & 0 \le x < 1\\ e/2, & x=1, \\ 0, & 1<x \le 2.\end{cases}[/inlmath]. Takodje, imajmo na umu i sledecu teoremu: ako je [inlmath]f[/inlmath] Riman integrabilna funkcija na [inlmath][a,c][/inlmath] i [inlmath]a<b<c[/inlmath] tada je [inlmath]f[/inlmath] Riman integrabilna na [inlmath][a,b][/inlmath] i Riman integrabilna na [inlmath][b,c][/inlmath] i vazi jednakost [inlmath]\displaystyle \int_a^c f(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx[/inlmath].

I onda vidis da smes da iskoristis dato razdvajanje integrala bez bilo kakve bojaznosti, jer je funkcija [inlmath]f[/inlmath] iz naseg primera Riman integrabilna na [inlmath][0,2][/inlmath] (npr. jer je tu ogranicena i jer je skup tacaka prekida mere (Lebegove) nula). Takodje (uz malo „krivo“ koriscenje same notacije) imamo i da je [inlmath]\displaystyle\int_{[0,1]} f(x)\, dx = \int_{[0,1)} f(x)\, dx[/inlmath], jer vrednost u jednoj tacki ne utice na sam integral (jer je to skup mere nula).

Ono sto hocu da kazem je da nas niko ne bije po usima da se pozivamo na neprekidnost funkcije, jer je dovoljna samo integrabilnost (koju ne moramo dobiti iz neprekidnosti).

Takodje, ovo za Dirihleov uslov, verujem da si to nekako povezivao sa Furijeovim redovima, ali to zaista nije povezano sa prethodnom pricom.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 15:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs