Evo jednog prastarog zadatka:
[dispmath]I=\int\limits_0^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
Ja sam ga svojevremeno radio ovako:
[dispmath]I=\int\limits_0^1\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx+\int\limits_1^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
Smatrao sam da je granična vrednost ispod prvog integrala jednaka [inlmath]x^2e^x[/inlmath] a ispod drugog da je nula, pošto [inlmath]x^n\to0[/inlmath] kada je [inlmath]0\le x<1[/inlmath] i [inlmath]x^n\to\infty[/inlmath] kada je [inlmath]1<x\le2[/inlmath]. Elegantno sam preskočio [inlmath]x=1[/inlmath]. Dobije se integral koji se lako rešava uz dve parcijalne integracije:
[dispmath]\int\limits_0^1x^2e^x\mathrm dx=e-2[/dispmath]
Pošto je takvo rešenje bilo i u zbirci, nisam ja to dalje ni proveravao. E, sad se pitam da li je to baš tako . Šta mi je uopšte i trebalo da sređujem podrum, ne bih ni našao svoju staru svesku s ovim zadatkom.
Zaista, šta se dešava kada je [inlmath]x=1[/inlmath]? Podintegralna funkcija [inlmath]f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}[/inlmath] u toj tački definitivno ima prekid. Njena vrednost iznosi:
[inlmath]f(1)=\frac{e}{2}[/inlmath]. Malo levo od jedinice njena vrednost je [inlmath]e[/inlmath]. Malo desno od jedinice vrednost je [inlmath]0[/inlmath]. To znači da je u toj tački ispunjen Dirihleov uslov:
[dispmath]f(x_0)=\frac{f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2}[/dispmath]
Dobro, pa? Mis'im, tačka ko tačka, neće ni uticati na vrednost određenog integrala, samo da se ne skoči u zagrljaj gospođici Asimptoti Vertikalnoj. Možda je ovo moje razdvajanje na dva integrala čak i korektno. Ili, nije valjda da je trebalo pisati na početku (deluje mi malo previše):
[dispmath]I=\lim_{\epsilon\to0^+}\int\limits_0^{1-\epsilon}\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx+\lim_{\epsilon\to0^+}\int\limits_{1+\epsilon}^2\lim_{n\to\infty}\frac{x^2e^x}{1+x^n}\mathrm dx[/dispmath]
i onda dalje sve isto... Šta vi mislite?