Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Integral x^-2arcsinxdx

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Integral x^-2arcsinxdx

Postod Gamma » Petak, 10. April 2015, 12:24

Radi se o ovome integralu. Koji spada u poglavlje parcijalne integracije. Ja ga svedem preko parcijalne integracije [inlmath]u=\arcsin x[/inlmath] i [inlmath]v=-\frac{1}{x}[/inlmath]. Međudim dobijem jedan dio rješenja. Ali ovaj drugi integral ne znam kako da riješim. Pokušavao sam preko smjene ali još više zakomplikujem. Naravno pokušavao sam i preko svođenja na polazni integral (taj kružni integral) ali ne može se tako uraditi na kraju se dobije jednakost [inlmath]0=0[/inlmath].
[dispmath]\int x^{-2}\arcsin x\mathrm dx=-\frac{1}{x}\arcsin x+\int\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx[/dispmath]
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Sinisa » Petak, 10. April 2015, 13:13

taj drugi integral opet rastavi parcijalnom integracijom...
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Gamma » Petak, 10. April 2015, 13:32

Jesi li uradio ovaj drugi integral parcijalnom integracijom? Pročitaj šta sam već napisao kada ga uradim parcijalom integracijom opet dobijem polazni integral. I ne može se tako uraditi zadatak. Tačnije ne može se izraziti taj integral jer se dobije jednakost [inlmath]0=0[/inlmath]
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Ilija » Petak, 10. April 2015, 21:13

Je l' imas krajnje resenje zadataka, cisto da vidim nesto? :)
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Gamma » Petak, 10. April 2015, 21:30

Misliš jesam li ga ja riješio? Ili da ti dam samo rezultat koji treba da se dobije?
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Ilija » Petak, 10. April 2015, 21:55

Rezultat koji treba da se dobije.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Gamma » Petak, 10. April 2015, 22:01

Šta te tačno interesuje?
[dispmath]\int x^{-2}\arcsin x\mathrm dx=-\frac{1}{x}\arcsin x+\ln x-\ln\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)+c[/dispmath]
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +2

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Ilija » Petak, 10. April 2015, 23:29

Uokvireni integral trebalo bi resiti kao integral iracionalne funkcije:
[dispmath]\int x^{-2}\arcsin x\mathrm dx=-\frac{1}{x}\arcsin x+\enclose{box}{\int\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx}[/dispmath]
Ovaj integral moze se svesti na oblik [inlmath]x^m\left(a+bx^n\right)^p[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx=\int x^{-1}\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{2}}\mathrm dx[/dispmath]
gde je [inlmath]m=-1[/inlmath], [inlmath]n=2[/inlmath], [inlmath]p=\frac {1}{2}[/inlmath], [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=-1[/inlmath]. Sada ovde mozemo imati vise situacija. Posto je ovde [inlmath]\frac{m+1}{n}=0[/inlmath], sto je ceo broj, uvodi se smena [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath], gde je [inlmath]s[/inlmath] imenilac od [inlmath]p[/inlmath].

Ne znam na kom nivou skolovanja je ovaj zadatak, te samim tim ne znam da li si upoznat sa integralom iracionalne funkcije. Ja ne vidim drugi nacin za resavanje (iako je zadatak stavljen striktno u oblast parcijalne integracije).
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Gamma » Subota, 11. April 2015, 00:06

Zadatak je iz zbirke za 4-ti razred srednje škole. Slabo sam upoznat sa integraciom iracionalnih fukncija. I ovde mi je nekako glupo da učim tu formulu za smjenu napamet. Ako se mora raditi ovako uopšte ne znam što su ga onda smjestili u parcijalnu integraciju.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Integral x^-2arcsinxdx

Postod Daniel » Subota, 11. April 2015, 10:12

Integral [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{1-x^2}}[/inlmath] može se, uz malo intuicije, uraditi i „peške“, bez poznavanja formule [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath].
Pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]2x[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{2x\mathrm dx}{2x^2\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm d\left(x^2\right)}{x^2\sqrt{1-x^2}}=[/dispmath]
Pošto [inlmath]x[/inlmath] svuda figuriše kao [inlmath]x^2[/inlmath], možemo uvesti smenu [inlmath]x^2=t[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dt}{t\sqrt{1-t}}=[/dispmath]
a zatim, kako bismo se oslobodili korena, smenu [inlmath]\sqrt{1-t}=u[/inlmath]:

[inlmath]\sqrt{1-t}=u\\
1-t=u^2\\
t=1-u^2\\
\mathrm dt=-2u\mathrm du[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{\cancel2}\int\frac{-\cancel2\cancel u\mathrm du}{\cancel u\left(1-u^2\right)}=-\int\frac{\mathrm du}{1-u^2}[/dispmath]
što je oblik do kojeg bismo došli i korišćenjem pomenute formule [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath].

Dalje se, naravno, radi kao integral racionalne funkcije...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sledeća

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 00:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs