-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
Ilija
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Subota, 11. April 2015, 10:12
Integral [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{1-x^2}}[/inlmath] može se, uz malo intuicije, uraditi i „peške“, bez poznavanja formule [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath].
Pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]2x[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{2x\mathrm dx}{2x^2\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm d\left(x^2\right)}{x^2\sqrt{1-x^2}}=[/dispmath]
Pošto [inlmath]x[/inlmath] svuda figuriše kao [inlmath]x^2[/inlmath], možemo uvesti smenu [inlmath]x^2=t[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dt}{t\sqrt{1-t}}=[/dispmath]
a zatim, kako bismo se oslobodili korena, smenu [inlmath]\sqrt{1-t}=u[/inlmath]:
[inlmath]\sqrt{1-t}=u\\
1-t=u^2\\
t=1-u^2\\
\mathrm dt=-2u\mathrm du[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{\cancel2}\int\frac{-\cancel2\cancel u\mathrm du}{\cancel u\left(1-u^2\right)}=-\int\frac{\mathrm du}{1-u^2}[/dispmath]
što je oblik do kojeg bismo došli i korišćenjem pomenute formule [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath].
Dalje se, naravno, radi kao integral racionalne funkcije...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain