Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Izračunavanje zapremine preko dvojnih i trojnih integrala – zadaci

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Izračunavanje zapremine preko dvojnih i trojnih integrala – zadaci

Postod desideri » Četvrtak, 26. Mart 2015, 04:07

U narednim zadacima potrebno je izračunati zapreminu tela određenog datim površima. Pri tome se zapremina računa preko trojnog ili preko dvojnog integrala:
[dispmath]V=\iiint\limits_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint\limits_D[z_2(x,y)-z_1(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y[/dispmath]
Pri ovome je površ [inlmath]z_2(x,y)[/inlmath] iznad površi [inlmath]z_1(x,y)[/inlmath], to jest: [inlmath]z_2(x,y)\ge z_1(x,y)[/inlmath] za [inlmath](x,y)\in D[/inlmath]

1. zadatak
[inlmath]z=xy\quad[/inlmath] (hiperbolički paraboloid)
[inlmath]z=0\quad[/inlmath] ([inlmath]x0y[/inlmath] ravan)
[inlmath]y=1-x\quad[/inlmath] (ravan)
[inlmath]x=0\quad[/inlmath] ([inlmath]y0z[/inlmath] ravan)
[inlmath]y=-1\quad[/inlmath] (ravan)

Hiperbolički paraboloid (sedlasta površ) iznad je ravni [inlmath]z=0[/inlmath] kada su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] oba pozitivna ili oba negativna. Ovo je sasvim očigledno i bez prostorne slike, pošto je [inlmath]z=xy[/inlmath]. Ipak, evo i te slike:

zadatak1.png
zadatak1.png (26.63 KiB) Pogledano 4208 puta

Oblast integracije [inlmath]D[/inlmath] u ravni [inlmath]x0y[/inlmath] nad kojom treba integraliti nakon svođenja na dvojni integral određena je sa poslednje tri ravni, to jest njihovim presecima sa ravni [inlmath]z=0[/inlmath]. Ovu oblast neophodno je podeliti na dve podoblasti [inlmath]D_1[/inlmath] i [inlmath]D_2[/inlmath], jer se u prvom slučaju sedlasta površ nalazi iznad ravni [inlmath]z=0[/inlmath] a u drugom ispod nje:

zadatak1a.png
zadatak1a.png (6.47 KiB) Pogledano 4203 puta

Ovde neće biti potrebe za uvođenjem polarnih ili sfernih koordinata, jer se zadatak najlakše radi upravo Dekartovim koordinatama:
[dispmath]\iiint\limits_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint\limits_{D_1}(xy-0)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{D_2}(0-xy)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\\
=\int\limits_0^1\mathrm{d}y\int\limits_0^{1-y}xy\mathrm{d}x-\int\limits_{-1}^0\mathrm{d}y\int\limits_0^{1-y}xy\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\limits_0^1y(1-y)^2\mathrm{d}y-\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^0y(1-y)^2\mathrm{d}y=\frac{3}{4}[/dispmath]

2. zadatak
[inlmath]z=\sqrt{x^2+y^2-1}\quad[/inlmath] (deo jednogranog hiperboloida iznad [inlmath]x0y[/inlmath] ravni)
[inlmath]z=0\quad[/inlmath] ([inlmath]x0y[/inlmath] ravan)
[inlmath]x^2+y^2=4\quad[/inlmath] (cilindar)

Oblast integracije u prostoru je između ravni [inlmath]z=0[/inlmath] i hiperboloida, isečena datim cilindrom:

zadatak2.png
zadatak2.png (28.98 KiB) Pogledano 4205 puta

Oblast integracije [inlmath]D[/inlmath] određena je presekom hiperboloida i ravni [inlmath]z=0[/inlmath] (centralni krug poluprečnika [inlmath]1[/inlmath]), kao i presekom datog cilindra i ravni [inlmath]z=0[/inlmath] (centralni krug poluprečnika [inlmath]2[/inlmath]) i predstavlja kružni prsten:

zadatak2a.png
zadatak2a.png (10.66 KiB) Pogledano 4200 puta

[dispmath]V=\iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2-1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\qquad D:\;1\le x^2+y^2\le4[/dispmath]
Kada oblast integracije i/ili podintegralna funkcija u dvojnom integralu sadrže formu [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] korisno je uvesti polarne koordinate prema:
[dispmath]x=r\cos\varphi\quad y=r\sin\varphi\quad\mathrm dx\mathrm dy=r\mathrm dr\mathrm d\varphi[/dispmath][dispmath]x^2+y^2=r^2\qquad D:\;1\le r\le2\quad-\pi<\varphi\le\pi[/dispmath]
[dispmath]V=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int\limits_1^2r\sqrt{r^2-1}\mathrm{d}r=2\pi\int\limits_1^2r\sqrt{r^2-1}\mathrm{d}r=2\pi\sqrt3[/dispmath]

3. zadatak
[inlmath]z^2=x^2+y^2+1\quad[/inlmath] (dvograni hiperboloid)
[inlmath]x^2+y^2=9\quad[/inlmath] (cilindar)

Tražena zapremina je između dva dela dvogranog hiperboloida, oivičena datim cilindrom:

zadatak3.png
zadatak3.png (31.21 KiB) Pogledano 4205 puta

Cilindar predstavlja oblast integracije [inlmath]D[/inlmath] nakon svođenja na dvojni integral, a zbog simetrije tela zapremina se može izračunati i kao dvostruka vrednost zapremine između ravni [inlmath]z=0[/inlmath] i gornjeg dela dvogranog hiperboloida:
[dispmath]V=2\iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2+1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\int\limits_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int\limits_0^3r\sqrt{r^2+1}\mathrm{d}r=\frac{4\pi}{3}\left(10\sqrt{10}-1\right)[/dispmath]

4. zadatak
[inlmath]4z=x^2+y^2\quad[/inlmath] (paraboloid)
[inlmath]z=\sqrt{x^2+y^2}\quad[/inlmath] (gornji polukonus)

zadatak4.png
zadatak4.png (30.12 KiB) Pogledano 4205 puta

Telo je odozdo ograničeno paraboloidom i odozgo polukonusom. Eliminacijom [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] iz jednačina datih površi dobija se [inlmath]z(z-4)=0[/inlmath], odakle je oblast integracije [inlmath]D:\;0\le x^2+y^2\le16[/inlmath]. Kao i u prethodna dva zadatka, prelazi se na polarne koordinate:
[dispmath]V=\iint\limits_D\left(\sqrt{x^2+y^2}-\frac{x^2+y^2}{4}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int\limits_0^4r\left(r-\frac{r^2}{4}\right)\mathrm{d}r=\frac{32\pi}{3}[/dispmath]

5. zadatak
[inlmath]z=\sqrt{16-x^2-y^2}\quad[/inlmath] (gornja polusfera)
[inlmath]z=\sqrt{x^2+y^2}\quad[/inlmath] (gornji polukonus)

zadatak5.png
zadatak5.png (35.11 KiB) Pogledano 4205 puta

Kombinacija sfere i konusa veoma je pogodna za uvođenje sfernih koordinata. Pošto se umesto Dekartovih koordinata uvode tri nove koordinate, onda nema svođenja na dvojni integral, odmah se radi trojni.
Tačka [inlmath]A[/inlmath] u sfernom koordinatnom sistemu ima koordinate [inlmath](r,\varphi,\vartheta)[/inlmath] gde je [inlmath]r[/inlmath] intenzitet vektora [inlmath]\vec{OA}[/inlmath] (vektor koji spaja koordinatni početak s tačkom [inlmath]A[/inlmath]), [inlmath]\varphi[/inlmath] ugao koji vektor [inlmath]\vec{OA_p}[/inlmath] zaklapa s pozitivnim delom [inlmath]x[/inlmath] ose ([inlmath]A_p[/inlmath] je projekcija tačke [inlmath]A[/inlmath] na koordinatnu ravan [inlmath]x0y[/inlmath]), dok je [inlmath]\vartheta[/inlmath] ugao između vektora [inlmath]\vec{OA_p}[/inlmath] i [inlmath]\vec{OA}[/inlmath] uz dogovor da je [inlmath]\vartheta<0[/inlmath] ako je tačka [inlmath]A[/inlmath] ispod ravni [inlmath]x0y[/inlmath]. Sreću se i drugačije opisane ili označene sferne koordinate, no sve je to stvar ukusa, rezultat integracije na kraju mora biti isti. Veza između Dekartovih i sfernih koordinata data je sa:
[dispmath]x=r\cos\varphi\cos\vartheta\quad y=r\sin\varphi\cos\vartheta\quad z=r\sin\vartheta\quad\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=r^2\cos\vartheta\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\vartheta[/dispmath]
U ovom zadatku polusfera određuje granice za [inlmath]r[/inlmath], kao i za ugao [inlmath]\varphi[/inlmath], dok je konus „nadležan“ za ugao [inlmath]\vartheta[/inlmath]:
[dispmath]V=\iiint\limits_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\vartheta\mathrm{d}\vartheta\int\limits_0^4r^2\mathrm{d}r=\frac{64\pi\left(2-\sqrt2\right)}{3}[/dispmath]

6. zadatak
[inlmath]z=xy\quad[/inlmath] (hiperbolički paraboloid)
[inlmath]z=0\quad[/inlmath] ([inlmath]x0y[/inlmath] ravan)
[inlmath]z=1-x-y\quad[/inlmath] (ravan)

zadatak6.png
zadatak6.png (36.07 KiB) Pogledano 4205 puta

Presek hiperboličkog paraboloida i date „kose“ ravni dobija se eliminacijom [inlmath]z[/inlmath] prema:
[dispmath]xy=1-x-y\quad\Rightarrow\quad(x+1)(y+1)=2[/dispmath]
Ovo je jednačina hiperbole čija grana relevantna za ovaj zadatak prolazi kroz tačke [inlmath](1,0)[/inlmath] i [inlmath](0,1)[/inlmath]. Kao i u prvom zadatku, oblast integracije deli se na dve oblasti:

zadatak6a.png
zadatak6a.png (7.2 KiB) Pogledano 4191 puta

Unutar oblasti [inlmath]D_1[/inlmath] donja prostorna granica je [inlmath]z=0[/inlmath], dok je gornja hiperbolički paraboloid, jer je bliži ravni [inlmath]z=0[/inlmath] od „kose“ ravni. Unutar oblasti [inlmath]D_2[/inlmath] integrali se od [inlmath]z=0[/inlmath] do „kose“ ravni [inlmath]z=1-x-y[/inlmath]:
[dispmath]V=\iiint\limits_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint\limits_{D_1}(xy-0)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{D_2}(1-x-y-0)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\\
=\int\limits_0^1\mathrm{d}x\int\limits_0^{\frac{2}{x+1}-1}xy\mathrm{d}y+\int\limits_0^1\mathrm{d}x\int\limits_{\frac{2}{x+1}-1}^{1-x}(1-x-y)\mathrm{d}y=\frac{17}{12}-2\ln2[/dispmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1519
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 11. Decembar 2019, 18:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs