Pozdrav, aab7, dobro nam došao na forum.
Integrali ovakvih oblika se rade preko Čebiševa. Pravilo je sledeće:
Ako imamo integral oblika
[dispmath]\int x^m\left(a+bx^n\right)^p\mathrm dx,\quad m,n,p\in\mathbb{Q},\;a,b\in\mathbb{R}[/dispmath]
on se može rešiti ako je ispunjen neki od sledećih uslova:
1) ako je [inlmath]p\in\mathbb{Z}[/inlmath], uvodimo smenu [inlmath]x=t^s[/inlmath], gde je [inlmath]s=[/inlmath]NZS imenilaca [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath];
2) ako je [inlmath]\frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}[/inlmath], uvodimo smenu [inlmath]a+bx^n=t^s[/inlmath], gde je [inlmath]s=[/inlmath]imenilac od [inlmath]p[/inlmath];
3) ako je [inlmath]\frac{m+1}{n}+p\in\mathbb{Z}[/inlmath], uvodimo smenu [inlmath]ax^{-n}+b=t^s[/inlmath], gde je [inlmath]s=[/inlmath]imenilac od [inlmath]p[/inlmath].
U naš integral
[dispmath]I=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt[4]{\left(x-1\right)^3\left(x+2\right)^5}}=\int\left(x-1\right)^{-\frac{3}{4}}\left(x+2\right)^{-\frac{5}{4}}\mathrm dx[/dispmath]
možemo uvesti smenu [inlmath]x-1=t[/inlmath], posle čega će biti
[dispmath]I=\int t^{-\frac{3}{4}}\left(t+3\right)^{-\frac{5}{4}}\mathrm dt[/dispmath]
Ako posmatramo opšti oblik ovog integrala,
[dispmath]\int x^m\left(a+bx^n\right)^p\mathrm dx[/dispmath]
u našem slučaju je [inlmath]a=3[/inlmath], [inlmath]b=1[/inlmath], [inlmath]m=-\frac{3}{4}[/inlmath], [inlmath]n=1[/inlmath] i [inlmath]p=-\frac{5}{4}[/inlmath], pa vidimo da se radi o slučaju kada
[dispmath]\frac{m+1}{n}+p\in Z[/dispmath]
tako da uvodimo smenu
[inlmath]at^{-n}+b=z^s[/inlmath], gde je [inlmath]s[/inlmath] imenilac [inlmath]p[/inlmath], tj.
[inlmath]3t^{-1}+1=z^4[/inlmath]
[inlmath]\frac{3}{t}=z^4-1[/inlmath]
[inlmath]t=\frac{3}{z^4-1}[/inlmath], [inlmath]\mathrm dt=-3\left(z^4-1\right)^{-2}\cdot 4z^3\mathrm dz[/inlmath]
[inlmath]z^4=\frac{3}{t}+1=\frac{3+t}{t}[/inlmath]
Naš integral sada postaje:
[dispmath]I=\int 3^{-\frac{3}{4}}\left(z^4-1\right)^\frac{3}{4}\left(\frac{3+3z^4-3}{z^4-1}\right)^{-\frac{5}{4}}\left(-3\right)\left(z^4-1\right)^{-2}\cdot 4z^3\mathrm dz[/dispmath][dispmath]I=-3^{-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}+1}\cdot 4\int\left(z^4-1\right)^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}-2}\cdot\left(z^4\right)^{-\frac{5}{4}}\cdot z^3\mathrm dz[/dispmath][dispmath]I=-\frac{4}{3}\int\left(z^4-1\right)^0\cdot z^{-5}\cdot z^3\mathrm dz[/dispmath][dispmath]I=-\frac{4}{3}\int z^{-2}\mathrm dz[/dispmath][dispmath]I=\frac{4}{3} z^{-1}[/dispmath]
Kada vratimo smenu, biće
[dispmath]I=\frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{t}{3+t}}[/dispmath]
i, posle vraćanja smene [inlmath]x-1=t[/inlmath],
[dispmath]I=\frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+2}}[/dispmath]