eseper je napisao:Zanima me zbog čega se u nazivniku treba izvuči [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath], pa tek tada uvoditi supstituciju, a ne odmah [inlmath]t=2-x^2[/inlmath]
Sam ćeš si dati odgovor ako lepo uvedeš tu smenu, [inlmath]t=2-x^2[/inlmath] pa kad vidiš dokle će te to odvesti.
U stvari, evo:
[inlmath]t=2-x^2\\
x^2=2-t\\
x=\sqrt{2-t}\\
\mathrm dx=\frac{-\mathrm dt}{2\sqrt{2-t}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\int\frac{\frac{-\mathrm dt}{2\sqrt{2-t}}}{\sqrt t}=-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t\left(2-t\right)}}[/dispmath]
Ne bismo mnogo bolje prošli ni sa smenom [inlmath]t=\sqrt{2-x^2}[/inlmath]:
[inlmath]t=\sqrt{2-x^2}\\
t^2=2-x^2\\
x^2=2-t^2\\
x=\sqrt{2-t^2}\\
\mathrm dx=\frac{-2t\mathrm dt}{2\sqrt{2-t^2}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\int\frac{\frac{-2t\mathrm dt}{2\sqrt{2-t^2}}}{t}=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{2-t^2}}[/dispmath]
eseper je napisao:Da nije možda zato što nam je cilj svesti na tablični integral
E, upravo zato.
Sam oblik ovog integrala nas nekako podseća na onaj tablični, [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c[/inlmath], samo ga treba malo srediti. Prvo treba da postignemo da nam slobodan član pod korenom bude [inlmath]1[/inlmath], a to postižemo upravo tako što ispred korena izvučemo [inlmath]\sqrt2[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}=\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}[/dispmath]
Pa onda smena
[inlmath]t=\frac{x}{\sqrt2}\\
x=\sqrt2t\\
\mathrm dx=\sqrt2\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{\cancel{\sqrt2}}\int\frac{\cancel{\sqrt2}\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin t+c=\arcsin\frac{x\sqrt2}{2}+c[/dispmath]
a moglo je i bez smene:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=\frac{1}{\cancel{\sqrt2}}\int\frac{\cancel{\sqrt2}\mathrm d\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)+c=\arcsin\left(\frac{x\sqrt2}{2}\right)+c[/dispmath]