Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Integrali – metoda supstitucije

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Re: Integrali – metoda supstitucije

Postod eseper » Nedelja, 07. Jul 2013, 20:34

Hvala, ovaj put sam tu sve do 9. mjeseca jer premam isto ono gradivo za ispit... Tako da puno ćemo se družit, više nego ikad :D

Ok, to sam shvatio. Rješenje su zakomplicirali, zadatak je jednostavan.

Ali, sada sljedeće
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}[/dispmath]
Ovdje se ne može bez supstitucije. Zanima me zbog čega se u nazivniku treba izvuči [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath], pa tek tada uvoditi supstituciju, a ne odmah [inlmath]t=2-x^2[/inlmath]

Da nije možda zato što nam je cilj svesti na tablični integral ili postoji neki drugi razlog? ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Integrali – metoda supstitucije

Postod Daniel » Nedelja, 07. Jul 2013, 23:35

eseper je napisao:Zanima me zbog čega se u nazivniku treba izvuči [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath], pa tek tada uvoditi supstituciju, a ne odmah [inlmath]t=2-x^2[/inlmath]

Sam ćeš si dati odgovor ako lepo uvedeš tu smenu, [inlmath]t=2-x^2[/inlmath] pa kad vidiš dokle će te to odvesti. :P
U stvari, evo:
[inlmath]t=2-x^2\\
x^2=2-t\\
x=\sqrt{2-t}\\
\mathrm dx=\frac{-\mathrm dt}{2\sqrt{2-t}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\int\frac{\frac{-\mathrm dt}{2\sqrt{2-t}}}{\sqrt t}=-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t\left(2-t\right)}}[/dispmath]
Ne bismo mnogo bolje prošli ni sa smenom [inlmath]t=\sqrt{2-x^2}[/inlmath]:
[inlmath]t=\sqrt{2-x^2}\\
t^2=2-x^2\\
x^2=2-t^2\\
x=\sqrt{2-t^2}\\
\mathrm dx=\frac{-2t\mathrm dt}{2\sqrt{2-t^2}}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\int\frac{\frac{-2t\mathrm dt}{2\sqrt{2-t^2}}}{t}=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{2-t^2}}[/dispmath]
eseper je napisao:Da nije možda zato što nam je cilj svesti na tablični integral

E, upravo zato. :) Sam oblik ovog integrala nas nekako podseća na onaj tablični, [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c[/inlmath], samo ga treba malo srediti. Prvo treba da postignemo da nam slobodan član pod korenom bude [inlmath]1[/inlmath], a to postižemo upravo tako što ispred korena izvučemo [inlmath]\sqrt2[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{2-x^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}=\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}[/dispmath]
Pa onda smena
[inlmath]t=\frac{x}{\sqrt2}\\
x=\sqrt2t\\
\mathrm dx=\sqrt2\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{\cancel{\sqrt2}}\int\frac{\cancel{\sqrt2}\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin t+c=\arcsin\frac{x\sqrt2}{2}+c[/dispmath]
a moglo je i bez smene:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=\frac{1}{\cancel{\sqrt2}}\int\frac{\cancel{\sqrt2}\mathrm d\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}}=\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)+c=\arcsin\left(\frac{x\sqrt2}{2}\right)+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Integrali – metoda supstitucije

Postod eseper » Ponedeljak, 08. Jul 2013, 10:31

Hvala, ovakve tipove sam shvatio.

Evo još jednog:
[dispmath]\int\frac{4x^5}{\sqrt{1-x^4}}\mathrm dx[/dispmath]
Kako ovo riješiti metodom zamjene?

U nazivniku [inlmath]x^4[/inlmath] možemo napisati kao[inlmath]\left(x^2\right)^2[/inlmath] ali onda [inlmath]x^2[/inlmath] ne smije biti [inlmath]t[/inlmath] zbog brojnika jer nećemo dobiti ono što želimo. Vjerovatno postoji neki trik :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Integrali – metoda supstitucije

Postod Daniel » Ponedeljak, 08. Jul 2013, 15:33

Upravo treba [inlmath]x^2=t[/inlmath]: :)
[inlmath]x=\sqrt t\\
\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{2\sqrt t}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{4x^5}{\sqrt{1-x^4}}\mathrm dx=\int\frac{4t^2\cancel{\sqrt t}}{\sqrt{1-t^2}}\frac{\mathrm dt}{2\cancel{\sqrt t}}=2\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt=2\int\frac{t^2-1+1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=2\int\frac{t^2-1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt+2\int\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=-2\int\frac{1-t^2}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt+2\arcsin t=-2\int\sqrt{1-t^2}\mathrm dt+2\arcsin x^2=[/dispmath]
Smena:
[inlmath]t=\sin z\\
\mathrm dt=\cos z\mathrm dz[/inlmath]
[dispmath]=-2\int\sqrt{1-\sin^2z}\:\cos z\:\mathrm dz+2\arcsin x^2=[/dispmath][dispmath]=-2\int\cos^2z\:\mathrm dz+2\arcsin x^2=-\cancel2\int\frac{1+\cos2x}{\cancel2}\mathrm dz+2\arcsin x^2=[/dispmath][dispmath]=-\int\mathrm dz-\int\cos2z\:\mathrm dz+2\arcsin x^2=-z-\frac{1}{2}\int\cos2z\:\mathrm d\left(2z\right)+2\arcsin x^2=[/dispmath][dispmath]=-\arcsin t-\frac{1}{2}\sin2z+2\arcsin x^2+c=-\arcsin x^2-\frac{1}{2}\sin2z+2\arcsin x^2+c=[/dispmath][dispmath]=\arcsin x^2-\sin z\cos z+c=\arcsin x^2-\sin z\sqrt{1-\sin^2z}+c=[/dispmath][dispmath]=\arcsin x^2-t\sqrt{1-t^2}+c=\arcsin x^2-x^2\sqrt{1-x^4}+c[/dispmath]

P.S. Ne moraš [inlmath]x^5[/inlmath] pisati kao x^{5}, već samo x^5; ni kvadratni koren [inlmath]\sqrt{1-x^4}[/inlmath] ne moraš pisati \sqrt[]{1-x^{4}}, već samo \sqrt{1-x^4}. Nije nikakva greška, jedino što sebi nepotrebno komplikuješ kucanje...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Prethodna

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:28 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs