NikolaM je napisao:1.Vise kao provera onoga sto sam shvatio, da li u slucajevima uvodjenja smene zapravo imamo:
a) [inlmath]t=\text{tg}\left(\frac{x}{2}\right)[/inlmath], neparan stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]
Zavisi od same podintegralne funkcije. Ako integral glasi npr. [inlmath]\displaystyle\int\frac{2+\cos^3x}{\cos^3x-\sin^5x}\mathrm dx[/inlmath] (sve neparni stepeni sinusa i kosinusa), tada nećemo dobiti nijedan od ona tri specijalna slučaja, te uvodimo smenu [inlmath]t=\text{tg }\frac{x}{2}[/inlmath].
Međutim, ako integral glasi npr. [inlmath]\displaystyle\int\frac{\sin x+\cos^3x}{\cos^3x-\sin^5x}\mathrm dx[/inlmath], tada vidimo, uvrštavanjem [inlmath]-\sin x[/inlmath] umesto [inlmath]\sin x[/inlmath] i uvrštavanjem [inlmath]-\cos x[/inlmath] umesto [inlmath]\cos x[/inlmath], da će važiti [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], te uvodimo smenu [inlmath]t=\text{tg }x[/inlmath].
Takođe, za integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{\cos^3x}{1+\sin x}\mathrm dx[/inlmath] važiće [inlmath]R\left(\sin x,-\cos x\right)=-R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath] (drugi od tri specijalna slučaja), tako da tada uvodimo smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath].
U svim navedenim primerima imali smo sve neparne stepene sinusa i sve neparne stepene kosinusa, a ipak se uvode različite smene.
NikolaM je napisao:b) [inlmath]t=\sin(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath]
Ne, u tom slučaju će važiti [inlmath]R\left(\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], a to ne spada ni u jedan od tri specijalna slučaja.
Primer slučaja za koji bi se uvela smena [inlmath]\sin x=t[/inlmath] dao sam malopre.
NikolaM je napisao:v) [inlmath]t=\cos(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i neparni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]
Slično objašnjenje kao i malopre.
NikolaM je napisao:g) [inlmath]t=\text{tg}(x)[/inlmath], paran stepen nad svim [inlmath]\sin(x)[/inlmath] i parni stepen nad svim [inlmath]\cos(x)[/inlmath]
Tako je.
NikolaM je napisao:2.Ako je moje shvatanje cele ove price sa smenom tacna, zbog cega se ovaj zadatak resava smenom [inlmath]t=\text{tg}(x)[/inlmath], kada se ocigledno javljauju i neprani stepeni:
[dispmath]\int\frac{\sin(x)\cdot\cos^2(x)}{\sin^3(x)+\cos^3(x)}\mathrm dx[/dispmath]
Ako umesto [inlmath]\sin x[/inlmath] uvrstiš [inlmath]-\sin x[/inlmath] i umesto [inlmath]\cos x[/inlmath] uvrstiš [inlmath]-\cos x[/inlmath], videćeš da za podintegralnu funkciju važi [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], što spada u treći od nabrojana tri specijalna slučaja, zbog čega uvodimo smenu [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath].
Dakle – ako unutar podintegralne funkcije svi sinusi i kosinusi imaju parne stepene, tada za podintegralnu funkciju važi [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], međutim, implikacija ne važi u obrnutom smeru – ako za podintegralnu funkciju važi [inlmath]R\left(-\sin x,-\cos x\right)=R\left(\sin x,\cos x\right)[/inlmath], tada unutar podintegralne funkcije ne moraju nužno svi sinusi i svi kosinusi biti podignuti na paran stepen. Kontraprimer je upravo ovaj integral koji si naveo. Još jedan kontraprimer, u kojem smo imali sve neparne stepene sinusa i kosinusa, naveo sam na početku ovog posta.
NikolaM je napisao:ali i dalje ne shvatam sta bi me navelo da uvedem upravo ovu smenu.
Čak i bez poznavanja pomenutih pravila, ovde se nekako sâmo od sebe nameće (tj. prilično je vidljivo) da ćemo, ako i brojilac i imenilac podelimo sa [inlmath]\cos^3x[/inlmath], dobiti
[dispmath]\int\frac{\text{tg }x}{\text{tg}^3x+1}\mathrm dx[/dispmath]
a onda je smena [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath] sasvim logičan izbor.