Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Ojlerove smene – pomoc

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Ojlerove smene – pomoc

Postod NikolaM » Ponedeljak, 18. Januar 2016, 19:51

Spremanje za ispit kroz par dana me je nateralo da otvorim jos jednu temu iz ove oblasti, nadam se da ce mi i ovo biti razjasnjano, bas kao i prethodni problem :) Pokusao sam da nadjem temu u kojoj se diskutuje o ovom problemu ali nisam uspeo.
Sada se radi o Ojlerovim smenama:
[dispmath]\int R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mathrm dx[/dispmath]
1) [inlmath]a>0[/inlmath] , smena
[dispmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\cdot x[/dispmath]
2) [inlmath]c>0[/inlmath] , smena
[dispmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=xt-\sqrt{c}[/dispmath]
3) ako je [inlmath]ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/inlmath], smena
[dispmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_1)[/dispmath]
Zadatak:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}[/dispmath]
U ovom zadatku imamo [inlmath]a=1>0[/inlmath] (uslov za prvu smenu) i imamo [inlmath]c=1>0[/inlmath] (uslov za drugu smenu, dok uslov za trecu smenu nije ispunjen.

Ovaj zadatak resavamo smenom [inlmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\cdot x[/inlmath] .
Sada moja pitanja:
1.Nisam siguran je da li smo u ovom zadatku mogli raditi zadatak i smenom pod 2) ( Ja sam pokusao ali je znatno teze izraziti [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]t[/inlmath]). Dakle da li je moguce?

2.U nekom slucaju moguce je da u jednom zadatku imamo ispunjen uslov za sve tri smene, da li u tom slucaju:
a)Biramo smenu kojom radimo, a uvek biramo da radimo smenom pod 1) jer je po pravilu najlakse raditi sa njom
b)Biramo smenu kojom radimo, ali ne mora da znaci da ce nam biti najlakse sa smenom pod 1)
c)Moramo da radimo smenom pod 1) ako je ispunjen uslov za tu smenu, bez obzira na ostale uslove

3.U slucaju da su ispunjeni recimo uslov pod 2) i uslov pod 3), slicno prethodnom pitanju, da li pod obavezno biramo smenu pod 2) ili je izbor na nama?

Nadam se da sam uspeo da precizno postavim pitanja. Izvinjavam se ako sam napravio greske u kucanju, pokusao sam da pregledam, ali sobzirom da sam pomalo umoran, mozda se potkrala neka greska. Unapred zahvalan na svakoj vrsti pomoci. :)
U slucaju da nekoga zanima u pitanju je Farmaceutski fakultet, sto vam mozda objasnjava lakocu zadataka za koje trazim pomoc, sobzirom da nasa primarna oblast svakako nije matematika :)
NikolaM  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Ojlerove smene – pomoc

Postod Ilija » Ponedeljak, 18. Januar 2016, 23:03

Dopunio bih ovo nekim sitnicama.

NikolaM je napisao:1)
[dispmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\cdot x[/dispmath]
2)
[dispmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=xt-\sqrt{c}[/dispmath]

Prva Ojlerova smena: [inlmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm\sqrt{a}x[/inlmath].
Druga Ojlerova smena:[inlmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm\sqrt{c}[/inlmath].
Da li ce se uzeti znak [inlmath]+[/inlmath] ili [inlmath]-[/inlmath], zavisi od konkretnog zadatka (gde je sustina da se svede na sto jednostavniji oblik).

NikolaM je napisao:3)
[dispmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_1)[/dispmath]

Pored navedene smene, moze se uzeti i smena sa drugim resenjem jednacine (takodje u zavisnosti od zadatka): [inlmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_2)[/inlmath].
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Ojlerove smene – pomoc

Postod NikolaM » Utorak, 19. Januar 2016, 00:29

Hvala na dopuni! :)

Moja pitanja i dalje stoje, mada verujem da znam odgovor, voleo bih da cujem od nekoga ko verovatno zna bolje od mene, a verujem da na ovom forumu ima dosta takvih :)

Sada moja pitanja:
1.Nisam siguran je da li smo u ovom zadatku mogli raditi zadatak i smenom pod 2) ( Ja sam pokusao ali je znatno teze izraziti [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]t[/inlmath]). Dakle da li je moguce?

2.U nekom slucaju moguce je da u jednom zadatku imamo ispunjen uslov za sve tri smene, da li u tom slucaju:
a)Biramo smenu kojom radimo, a uvek biramo da radimo smenom pod 1) jer je po pravilu najlakse raditi sa njom
b)Biramo smenu kojom radimo, ali ne mora da znaci da ce nam biti najlakse sa smenom pod 1)
c)Moramo da radimo smenom pod 1) ako je ispunjen uslov za tu smenu, bez obzira na ostale uslove

3.U slucaju da su ispunjeni recimo uslov pod 2) i uslov pod 3), slicno prethodnom pitanju, da li pod obavezno biramo smenu pod 2) ili je izbor na nama?
NikolaM  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +2

Re: Ojlerove smene – pomoc

Postod Ilija » Utorak, 19. Januar 2016, 01:18

NikolaM je napisao:1.Nisam siguran je da li smo u ovom zadatku mogli raditi zadatak i smenom pod 2) ( Ja sam pokusao ali je znatno teze izraziti [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]t[/inlmath]). Dakle da li je moguce?

Da, mogao si integral resiti i drugom Ojlerovom smenom, ali koriscenje prve u ovom slucaju je jednostavnije.

Sto se tice izbora smene, ako su ispunjeni uslovi za koriscenje vise Ojlerovih smena, znaci da mozes koristiti bilo koju od tih. Ipak, treba odabrati onu koja je najjednostavnija za uvodjenje u konkretnom integralu.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Ojlerove smene – pomoc

Postod NikolaM » Utorak, 19. Januar 2016, 02:17

Hvala na odgovoru :)
Sto se tice ove teme, jos bih samo zamolio nekoga ko ima volje i vremena, da napise 2-3 primera integrala koji se resavaju nekom od Ojlerovih smena. Dakle samo da navedete primere, nema potrebe da ih resavate, neka to bude zaduzenje za mene pa ako zapnem negde ja cu kukati u ovoj temi. :)
Ja licno nemam literaturu iz ove oblasti, a ako uzmem da pretrazujem po netu najverovatnije cu zavrsiti sa nekom koskom od zadatka. :insane:
NikolaM  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Ojlerove smene – pomoc

Postod Daniel » Utorak, 19. Januar 2016, 18:10

Potvrđujem Ilijin odgovor – možeš uzeti bilo koju smenu koja zadovoljava postavljen uslov, ali je najbolje da nekako proceniš (ili isprobavaš) koja smena će dovesti do najjednostavnijeg izraza.
Na primer, kod ovog zadatka koji si postavio, i sâm si konstatovao da je lakše ako se uvede smena [inlmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt ax[/inlmath] nego ako se uvede smena [inlmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=xt-\sqrt c[/inlmath]. Kako Ilija reče, može se uvesti i smena [inlmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t+\sqrt ax[/inlmath], ali ovde nekako odmah vidiš, pošto u imeniocu imaš izraz [inlmath]x+\sqrt{x^2+x+1}[/inlmath] da će se, ako uvedeš smenu s minusom, tj. [inlmath]\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt ax[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath]-evi skratiti, tako da je ta smena najpreporučljivija.

NikolaM je napisao:Sto se tice ove teme, jos bih samo zamolio nekoga ko ima volje i vremena, da napise 2-3 primera integrala koji se resavaju nekom od Ojlerovih smena. Dakle samo da navedete primere, nema potrebe da ih resavate, neka to bude zaduzenje za mene pa ako zapnem negde ja cu kukati u ovoj temi. :)

Nisam imao vremena da ih rešavam, al' pokušaj:
[dispmath]\int\frac{x+\sqrt{x^2+4x}}{1+\sqrt{x^2+4x}}\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\frac{x^3-\sqrt{x^2+x-2}}{x^2+\sqrt{x^2+x-2}}\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ojlerove smene – pomoc

Postod NikolaM » Četvrtak, 21. Januar 2016, 00:25

Hvala na primerima potrudicu se da ih odradim, pa se javljam. Pokusao sam da uradim 2. primer uveo sam prvu Ojlerovu smenu, izrazio [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]t[/inlmath] i onda sam dobio poprilicno glomazan izraz :think1: Svakako ne odustajem i ne trazim pomoc jos uvek, barem jedan primer da uspem da uradim :)
NikolaM  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Ojlerove smene – pomoc

Postod Ilija » Četvrtak, 21. Januar 2016, 12:17

Mala sugestija za 2. primer koji si i poceo da radis. Posto izraz pod korenom mozes napisati u obliku [inlmath]a(x-x_1)(x-x_2)[/inlmath], lako ces [inlmath]x[/inlmath] izraziti preko [inlmath]t[/inlmath] uvodjenjem trece Ojlerove smene.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Ojlerove smene – pomoc

Postod Ilija » Četvrtak, 21. Januar 2016, 12:30

Evo sad htedoh svoj post da izmenim i dopunim, ali ne stigoh na vreme. :D

Uvodjenjem i prve Ojlerove smene, kao sto si i radio, lako izrazis [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]t[/inlmath]. E sad, glomazan izraz. Pa cini mi se da se to moze lepo srediti.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 01:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs