Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Parcijalna integracija

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Petak, 12. Jul 2013, 16:55

Ako može postupak za ovaj zadatak, izgubim se svaki put :evil:
[dispmath]\int\frac{\left(\arccos^2x\right)e^{3\arccos x}}{-\sqrt{1-x^2}}[/dispmath]
Hvala
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Petak, 12. Jul 2013, 17:39

Uvek zaboraviš da na kraju napišeš [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. :P
[dispmath]\int\frac{\left(\arccos^2 x\right)e^{3\arccos x}}{-\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx[/dispmath]
Smena:
[inlmath]t=\arccos x\\
\mathrm dt=-\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}[/inlmath]
[dispmath]\int t^2 e^{3t}\mathrm dt[/dispmath]
Pa sad parcijalna. Kao što nedavno zaključismo, kad imamo proizvod stepene i eksponencijalne funkcije, za [inlmath]u[/inlmath] uzimamo stepenu, a za [inlmath]v[/inlmath] eksponencijalnu funkciju i primenjujemo parcijalnu onoliko puta koliki je stepen te stepene funkcije (u ovom slučaju, dakle, dva puta).

[inlmath]u=t^2\\
\mathrm du=2t\mathrm dt\\
\mathrm dv=e^{3t}\mathrm dt\\
v=\frac{1}{3}e^{3t}[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{3}t^2e^{3t}-\frac{2}{3}\int t e^{3t}\mathrm dt[/dispmath]
[inlmath]u=t\\
\mathrm du=\mathrm dt\\
\mathrm dv=e^{3t}\mathrm dt\\
v=\frac{1}{3}e^{3t}[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{3}t^2e^{3t}-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}t e^{3t}-\frac{1}{3}\int e^{3t}\mathrm dt\right)=\frac{1}{3}t^2e^{3t}-\frac{2}{9}t e^{3t}+\frac{2}{9}\int e^{3t}\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{3}t^2e^{3t}-\frac{2}{9}t e^{3t}+\frac{2}{27} e^{3t}+c=\frac{e^{3t}}{27}\left(9t^2-6t+2\right)+c=[/dispmath][dispmath]=\frac{e^{3\arccos x}}{27}\left(9\arccos^2 x-6\arccos x+2\right)+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Petak, 12. Jul 2013, 17:57

[inlmath]\mathrm dx[/inlmath] mi je uvijek u drugom planu, iako ne bi smio biti :mrgreen:

Hvala. Malo sam se pogubio bio u onim supstitucijama, ali u principu zadatak je vrlo sličan prethodnome... :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Subota, 13. Jul 2013, 11:08

1.


[dispmath]\int\frac{\sin^2 x}{e^x}\mathrm dx[/dispmath]
Ovo sam išao rješvati preko parcijalne,

[inlmath]u=\frac{1}{e^x}\\
\mathrm du=-\frac{1}{e^x}\mathrm dx\\
\mathrm dv=\sin^2 x\mathrm dx\\
v=\int\sin^2 x\mathrm dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)+C[/inlmath]

itd. ali ovo definitivno nije dobar način jer se zadatak jako zakomplicira i nema mu kraja, iako se vjerovatno može rješiti ovako... Postoji li možda neki trik kojim bi ovo pojednostavnili, a da ga nisam uočio? :D

2.


[dispmath]\int x^2\mathrm{arctg}\:3x\mathrm dx[/dispmath]
Parcijalnom integracijom se zadatak jednostavno rješava, ali se u toku zadatka dođe do ovoga:
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+9x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Ako nešto ne grješim, ovaj integral se ne može rješiti nikako osim rastavom na[dispmath]\int\left(\frac{x}{9}-\frac{x}{9\left(1+9x^2\right)}\right)\mathrm dx[/dispmath] međutim, kako doći do tog rastava? Dijeljenjem polinoma ili na neki drugi način?

i
3.


[dispmath]\int x\mathrm{tg}^2 x\mathrm dx[/dispmath]
Ne treba mi rješenje zadatka nego samo uputa. Pretpostavljam da se [inlmath]\mathrm{tg}^2x[/inlmath] treba u nešto raspisati, jer kada se odmah ide preko parcijalne integracije ne ispada mi...
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Nedelja, 14. Jul 2013, 09:41

eseper je napisao:1.


[dispmath]\int\frac{\sin^2 x}{e^x}\mathrm dx[/dispmath]
Ovo sam išao rješvati preko parcijalne,

[inlmath]u=\frac{1}{e^x}\\
\mathrm du=-\frac{1}{e^x}\mathrm dx\\
\mathrm dv=\sin^2 x\mathrm dx\\
v=\int\sin^2 x\mathrm dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)+C[/inlmath]

itd. ali ovo definitivno nije dobar način jer se zadatak jako zakomplicira i nema mu kraja, iako se vjerovatno može rješiti ovako... Postoji li možda neki trik kojim bi ovo pojednostavnili, a da ga nisam uočio? :D

[inlmath]1.[/inlmath] način:
[dispmath]\int\frac{\sin^2 x}{e^x}\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=\sin^2 x\\
\mathrm du=2\sin x\cos x\mathrm dx=\sin 2x\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-x}\mathrm dx\\
v=-e^{-x}[/inlmath]
[dispmath]=-e^{-x}\sin^2 x+\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=\sin 2x\\
\mathrm du=2\cos 2x\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-x}\mathrm dx\\
v=-e^{-x}[/inlmath]
[dispmath]=-e^{-x}\sin 2x+2\int e^{-x}\cos 2x\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=\cos 2x\\
\mathrm du=-2\sin 2x\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-x}\mathrm dx\\
v=-e^{-x}[/inlmath]
[dispmath]=-e^{-x}\sin 2x+2\left(-e^{-x}\cos 2x-2\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx\right)=-e^{-x}\sin 2x-2e^{-x}\cos 2x-4\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad 5\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx=-e^{-x}\sin 2x-2e^{-x}\cos 2x+c[/dispmath][dispmath]\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx=-\frac{1}{5}e^{-x}\sin 2x-\frac{2}{5}e^{-x}\cos 2x+c[/dispmath]
pa to vratimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]
[dispmath]-e^{-x}\sin^2 x-\frac{1}{5}e^{-x}\sin 2x-\frac{2}{5}e^{-x}\cos 2x+c=-e^{-x}\left(\sin^2 x+\frac{1}{5}\sin 2x+\frac{2}{5}\cos 2x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=-e^{-x}\left(\sin^2 x+\frac{1}{5}\sin 2x+\frac{2}{5}\cos^2 x-\frac{2}{5}\sin^2 x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=-e^{-x}\left(\sin^2 x+\frac{1}{5}\sin 2x+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\sin^2 x-\frac{2}{5}\sin^2 x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=-e^{-x}\left(\frac{1}{5}\sin^2 x+\frac{1}{5}\sin 2x+\frac{2}{5}\right)+c=-\frac{e^{-x}}{5}\left(\sin^2 x+\sin 2x+2\right)+c[/dispmath]


[inlmath]2.[/inlmath] način:
[dispmath]\int\frac{\sin^2 x}{e^x}\mathrm dx=\int e^{-x}\frac{1-\cos 2x}{2}\mathrm dx=-\frac{1}{2}e^{-x}-\frac{1}{2}\int e^{-x}\cos 2x\mathrm dx\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\int e^{-x}\cos 2x\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=\cos 2x\\
\mathrm du=-2\sin 2x\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-x}\mathrm dx\\
v=-e^{-x}[/inlmath]
[dispmath]=-e^{-x}\cos 2x-2\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=\sin 2x\\
\mathrm du=2\cos 2x\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-x}\mathrm dx\\
v=-e^{-x}[/inlmath]
[dispmath]=-e^{-x}\cos 2x-2\left(-e^{-x}\sin 2x+2\int e^{-x}\cos 2x\mathrm dx\right)=-e^{-x}\cos 2x+2e^{-x}\sin 2x-4\int e^{-x}\cos 2x\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad 5\int e^{-x}\cos 2x\mathrm dx=-e^{-x}\cos 2x+2e^{-x}\sin 2x+c[/dispmath][dispmath]\int e^{-x}\cos 2x\mathrm dx=-\frac{1}{5}e^{-x}\cos 2x+\frac{2}{5}e^{-x}\sin 2x+c[/dispmath]
pa to vratimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]
[dispmath]-\frac{1}{2}e^{-x}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{5}e^{-x}\cos 2x+\frac{2}{5}e^{-x}\sin 2x\right)+c=-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{1}{10}e^{-x}\cos 2x-\frac{1}{5}e^{-x}\sin 2x+c=[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{10}e^{-x}\left(5-\cos 2x+2\sin 2x\right)+c=-\frac{1}{10}e^{-x}\left(5-\cos^2 x+\sin^2 x+2\sin 2x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{10}e^{-x}\left(5-1+\sin^2 x+\sin^2 x+2\sin 2x\right)+c=-\frac{1}{10}e^{-x}\left(4+2\sin^2 x+2\sin 2x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{5}e^{-x}\left(2+\sin^2 x+\sin 2x\right)+c[/dispmath]


A može i na način na koji si započeo:
[dispmath]\frac{xe^{-x}}{2}-\frac{1}{4}e^{-x}\sin 2x+\int\left(\frac{xe^{-x}}{2}-\frac{1}{4}e^{-x}\sin 2x\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{xe^{-x}}{2}-\frac{1}{4}e^{-x}\sin 2x+\frac{1}{2}\int xe^{-x}\mathrm dx-\frac{1}{4}\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\int xe^{-x}\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=x\\
\mathrm du=\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-x}\mathrm dx\\
v=-e^{-x}[/inlmath]
[dispmath]=-xe^{-x}+\int e^{-x}\mathrm dx=-xe^{-x}-e^{-x}+c\quad\left(2\right)[/dispmath]
U [inlmath]1.[/inlmath] načinu već je pokazano kako se izračunava [inlmath]\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx[/inlmath], pri čemu se dobije
[dispmath]\int e^{-x}\sin 2x\mathrm dx=-\frac{1}{5}e^{-x}\sin 2x-\frac{2}{5}e^{-x}\cos 2x+c\quad\left(3\right)[/dispmath]
Uvrstimo [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{xe^{-x}}{2}-\frac{1}{4}e^{-x}\sin 2x+\frac{1}{2}\left(-xe^{-x}-e^{-x}\right)-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{5}e^{-x}\sin 2x-\frac{2}{5}e^{-x}\cos 2x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=\cancel{\frac{xe^{-x}}{2}}-\frac{1}{4}e^{-x}\sin 2x-\cancel{\frac{1}{2}xe^{-x}}-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{1}{20}e^{-x}\sin 2x+\frac{1}{10}e^{-x}\cos 2x+c=[/dispmath][dispmath]=\frac{e^{-x}}{20}\left(-5\sin 2x-10+\sin 2x+2\cos 2x\right)+c=\frac{e^{-x}}{20}\left(-4\sin 2x-10+2\cos^2 x-2\sin^2 x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=\frac{e^{-x}}{20}\left(-4\sin 2x-10+2-2\sin^2 x-2\sin^2 x\right)+c=\frac{e^{-x}}{20}\left(-4\sin 2x-8-4\sin^2 x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=-\frac{e^{-x}}{5}\left(\sin 2x+2+\sin^2 x\right)+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

  • +1

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Nedelja, 14. Jul 2013, 09:54

eseper je napisao:2.
...
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+9x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Ako nešto ne grješim, ovaj integral se ne može rješiti nikako osim rastavom na[dispmath]\int\left(\frac{x}{9}-\frac{x}{9\left(1+9x^2\right)}\right)\mathrm dx[/dispmath] međutim, kako doći do tog rastava? Dijeljenjem polinoma ili na neki drugi način?

A kako si uopšte došao do tog rastava, ako ne znaš kako doći do njega? :kojik:

Inače, do njega se dolazi ovako:
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+9x^2}\mathrm dx=\int\frac{9x^3}{9\left(1+9x^2\right)}\mathrm dx=\int\frac{x+9x^3-x}{9\left(1+9x^2\right)}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\int\left[\frac{x+9x^3}{9\left(1+9x^2\right)}-\frac{x}{9\left(1+9x^2\right)}\right]\mathrm dx=\int\left[\frac{x\cancel{\left(1+9x^2\right)}}{9\cancel{\left(1+9x^2\right)}}-\frac{x}{9\left(1+9x^2\right)}\right]\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\int\left[\frac{x}{9}-\frac{x}{9\left(1+9x^2\right)}\right]\mathrm dx[/dispmath]
eseper je napisao:3.
[dispmath]\int x\mathrm{tg}^2 x\mathrm dx[/dispmath]
Ne treba mi rješenje zadatka nego samo uputa. Pretpostavljam da se [inlmath]\mathrm{tg}^2x[/inlmath] treba u nešto raspisati, jer kada se odmah ide preko parcijalne integracije ne ispada mi...

[dispmath]\mathrm{tg}^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}-1[/dispmath]
pa to uvrstiš u integral umesto tangensa...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Nedelja, 14. Jul 2013, 10:06

Izmorio sam te :oops: Hvala :thumbup:

Do rastava u drugom zadatku nisam došao sam ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Nedelja, 14. Jul 2013, 16:43

Opušteno... Nisi ti mene ništa izmorio, ne bi' se ja ovako raspisao da mi nije gušt. :P
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Nedelja, 14. Jul 2013, 17:19

8-)

Super, sada znam za ubuduće :twisted: :mrgreen:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Nedelja, 14. Jul 2013, 17:20

A kao, nisi dosad znao :tongue:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot], MSN [Bot] i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 19. Februar 2020, 16:39 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs