Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Parcijalna integracija

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Ponedeljak, 15. Jul 2013, 11:58

Evo jednog s prošlogodišnjeg ispita.

Primjenjujući metode zamjene varijabli i parcijalne integracije izračunajte integral:
[dispmath]\int\sin(2x)\ln\left(\sin^2 x+\sqrt{1+\sin^4 x}\right)\mathrm dx[/dispmath]
evo kako sam ja to rješio

prvo, zamjena varijabli:
[inlmath]t=\sin^2 x\\
\mathrm dt=2\sin x\cos x=\sin(2x)\mathrm dx[/inlmath]

potom uvrštavanje nakon čega dobijemo sređeni integral
[dispmath]\int\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\mathrm dt[/dispmath]
pa primjena pravila za parcijalnu integraciju
[inlmath]u=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\\
\mathrm du=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt\\
\mathrm dv=\mathrm dt\\
v=t[/inlmath]
[dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-\int\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt[/dispmath]
ponovno supstitucija
[inlmath]k=1+t^2\\
\mathrm dk=2t\mathrm dt[/inlmath]

pa uvrštavanje
[dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-2\int\frac{\mathrm dk}{k^\frac{1}{2}}=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-2\frac{k^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}[/dispmath][dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-4\sqrt{k}=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-4\sqrt{1+t^2}+C[/dispmath]
i konačno sam dobio
[dispmath]=\sin^2(x)\ln\left(\sin^2(x)+\sqrt{1+\sin^4(x)}\right)-4\sqrt{1+\sin^4(x)}+C[/dispmath]
nadam se da je barem dio točan :whistle:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Ponedeljak, 15. Jul 2013, 15:31

eseper je napisao:[inlmath]u=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)[/inlmath]
[inlmath]\mathrm du=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt[/inlmath]

Dobro, ovde si nekoliko koraka preskočio, ali OK, to je to...

E sad...
eseper je napisao:[dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-\int\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt[/dispmath]
ponovno supstitucija
[inlmath]k=1+t^2\\
\mathrm dk=2t\mathrm dt[/inlmath]

pa uvrštavanje
[dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-{\color{red}2}\int\frac{\mathrm dk}{k^\frac{1}{2}}=\cdots[/dispmath]

Umesto ove dvojke treba [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Zbog toga, konačan rezultat nije
eseper je napisao:[dispmath]\sin^2(x)\ln\left(\sin^2(x)+\sqrt{1+\sin^4(x)}\right)-{\color{red}4}\sqrt{1+\sin^4(x)}+C[/dispmath]

već je
[dispmath]\sin^2 x\ln\left(\sin^2 x+\sqrt{1+\sin^4 x}\right)-\sqrt{1+\sin^4 x}+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Sreda, 17. Jul 2013, 22:03

Sljedeći integral - napisat ću i postupak obzirom da wolfram svašta izbacuje, pa da vidimo je li moja verzija točna
[dispmath]\int\cos^5 x\sin^4 x\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\cos^5 x\sin^4 x\mathrm dx=\int\left(\cos^2x\right)^2\cos x\left(\sin^2x\right)^2\mathrm dx=\int\left(1-\sin^2x\right)^2\cos x\left(\sin^2x\right)^2\mathrm dx[/dispmath]
zamjena varijabli
[inlmath]t=\sin x\\
\mathrm dt=\cos x\mathrm dx[/inlmath]
[dispmath]=\int\left(1-t^2\right)^2 t^4\mathrm dt=\int\left(1-2t^2+t^4\right)t^4\mathrm dt=\int\left(t^4-2t^6+t^8\right)\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{5}t^5-\frac{2}{7}t^7+\frac{1}{9}t^9+C[/dispmath]
konačno rješenje moje verzije ovog zadatka je
[dispmath]\int\cos^5 x\sin^4 x\mathrm dx=\frac{1}{5}\sin^5x-\frac{2}{7}\sin^7x+\frac{1}{9}\sin^9x+C[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Četvrtak, 18. Jul 2013, 00:50

Ma, pusti ti šta kaže Wolfram... :) Tvoje rešenje je sasvim tačno. :correct:
Zapravo, tačno je i njegovo. :mrgreen: Samo što ste radili na različite načine i dobili jedno isto rešenje, ali zapisano na dva potpuno različita načina. ;)

Evo na koji način je (pretpostavljam) Wolfram radio:
[dispmath]\int\cos^5 x\sin^4 x\mathrm dx=\int\cos x\left(\sin x\cos x\right)^4\mathrm dx=\int\cos x\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^4\mathrm dx[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{16}\int\cos x\sin^4 2x\mathrm dx=\frac{1}{16}\int\cos x\left(\frac{1-\cos 4x}{2}\right)^2\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{64}\int\cos x\left(1-2\cos 4x+\cos^2 4x\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{64}\int\cos x\mathrm dx-\frac{1}{32}\int\cos x\cos 4x\mathrm dx+\frac{1}{64}\int\cos x\cos^2 4x\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{64}\sin x-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2}\int\left(\cos 5x+\cos 3x\right)\mathrm dx+\frac{1}{128}\int\cos x\left(1+\cos 8x\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{64}\sin x-\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{5}\int\cos 5x\mathrm d\left(5x\right)-\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{3}\int\cos 3x\mathrm d\left(3x\right)+\frac{1}{128}\int\cos x\mathrm dx+\frac{1}{128}\int\cos x\cos 8x\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{64}\sin x-\frac{1}{320}\sin 5x-\frac{1}{192}\sin 3x+\frac{1}{128}\sin x+\frac{1}{128}\cdot\frac{1}{2}\int\left(\cos 9x+\cos 7x\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{3}{128}\sin x-\frac{1}{320}\sin 5x-\frac{1}{192}\sin 3x+\frac{1}{256}\cdot\frac{1}{9}\int\cos 9x\mathrm d\left(9x\right)+\frac{1}{256}\cdot\frac{1}{7}\int\cos 7x\mathrm d\left(7x\right)=[/dispmath][dispmath]=\frac{3}{128}\sin x-\frac{1}{320}\sin 5x-\frac{1}{192}\sin 3x+\frac{1}{2304}\sin 9x+\frac{1}{1792}\sin 7x+c[/dispmath]
I, kad bi se to sad sve izrazilo u funkciji od [inlmath]\sin x[/inlmath] (to prepuštam tebi ako si dokon – mene zaista mrzi :P ), dobilo bi se rešenje identično tvom.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Subota, 03. Avgust 2013, 21:49

[dispmath]\int x(\mathrm{arctg}\:x)^2\mathrm dx[/dispmath]
parcijalna integracija
[inlmath]u=(\mathrm{arctg}\:x)^2\\
\mathrm du=\frac{2\mathrm{arctg}\:x}{1+x^2}\mathrm dx\\
\mathrm dv=x\mathrm dx\\
v=\frac{x^2}{2}[/inlmath]
[dispmath]=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}^2x-\int\frac{x^2}{2}\frac{2\mathrm{arctg}\:x}{1+x^2}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}^2x-\int\frac{x^2\mathrm{arctg}\:x}{1+x^2}\mathrm dx[/dispmath]
zamjena varijabli
[inlmath]t=\mathrm{arctg}\:x\\
\mathrm dt=\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx\\
x=\mathrm{tg}\:t[/inlmath]
[dispmath]=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}^2x-\int\mathrm{tg}^2 t\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}^2t=\frac{1}{\cos^2t}-1[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}x^2\mathrm{arctg}^2x-\int\frac{1}{\cos^2t}\mathrm dt+\int\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}x^2\mathrm{arctg}^2x-\mathrm{tg}\:t+t=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}x^2\mathrm{arctg}^2x-\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\:x)+\mathrm{arctg}\:x+C[/dispmath]
Zadatak je netočan. Kao točno rješenje stoji [dispmath]\frac{x^2+1}{2}(\mathrm{arctg}\:x)^2-x\mathrm{arctg}\:x+\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C[/dispmath]
Ne treba mi postupak, samo uputa kako riješiti na drugi način, tj. gdje radim grešku... :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Subota, 03. Avgust 2013, 23:30

Evo ti greška ovde:
eseper je napisao:[dispmath]=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}^2x-\int\frac{x^2\mathrm{arctg}\:x}{1+x^2}\mathrm dx[/dispmath]
zamjena varijabli
[inlmath]t=\mathrm{arctg}\:x\\
\mathrm dt=\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx\\
x=\mathrm{tg}\:t[/inlmath]
[dispmath]=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}^2x-{\color{red}\int\mathrm{tg}^2 t\mathrm dt}[/dispmath]

Posle zamene varijabli trebalo je da dobiješ
[dispmath]=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}^2x-\int{\color{red}t}\cdot\mathrm{tg}^2 t\mathrm dt[/dispmath]
tj. fali ti jedno [inlmath]t[/inlmath] pod integralom, jer je [inlmath]\mathrm{arctg}\:x=t[/inlmath].

Nastavi dalje s tim [inlmath]t[/inlmath] i dobićeš ispravan rezultat.

I inače, [inlmath]\mathrm{tg}\left(\mathrm{arctg}\:x\right)[/inlmath] nemoj ostavljati u tom obliku, već piši to kao [inlmath]x[/inlmath]. ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod eseper » Subota, 03. Avgust 2013, 23:35

Joj, kako ga izostavih... Nisam uopće uočio... Hvala ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Parcijalna integracija

Postod _Mita » Nedelja, 23. Februar 2014, 21:43

[dispmath]\int\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^{3/2}}[/dispmath]
Primenio sam parcijalnu integraciju:
[dispmath]u=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\quad\mathrm dv=\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}}{1+x^2}\mathrm dx[/dispmath]
I sve dobijem lepo do integrala :
[dispmath]\int\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}[/dispmath] koji ne umem da resim. Da li gresim negde pre ovog koraka?
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod _Mita » Nedelja, 23. Februar 2014, 22:12

Sad sam video da se ne dobija [dispmath]\int\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}[/dispmath] nego
[dispmath]\int\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^{3/2}}[/dispmath]
ali opet mi se pri resavanju ovog integrala javlja problem xD
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta

Re: Parcijalna integracija

Postod Daniel » Ponedeljak, 24. Februar 2014, 01:51

Znači, dobio si
[dispmath]\int\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}=\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}}{\sqrt{1+x^2}}-\int\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}\quad\left(1\right)[/dispmath]
E sad računaš integral [inlmath]\int\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}[/inlmath], takođe parcijalnom:
[inlmath]u=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\mathrm du=-\frac{x\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}\\
\mathrm dv=\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{1+x^2}\\
v=e^{\mathrm{arctg}\:x}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}=\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}}{\sqrt{1+x^2}}+\int\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}\quad\left(2\right)[/dispmath]
Sada [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}=\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}}{\sqrt{1+x^2}}-\left(\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}}{\sqrt{1+x^2}}+\int\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}\right)[/dispmath]
I, pošto na levoj i na desnoj strani imamo isti integral, ovo možeš posmatrati kao jednačinu u kojoj ti je nepoznata upravo taj integral koji tražiš.
Prilikom prebacivanja desnog integrala na levu stranu potrebno je, samo, na desnu stranu dodati konstantu [inlmath]c[/inlmath], jer je ta konstanta bila sadržana u tom integralu dok je on bio na desnoj strani:
[dispmath]2\int\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}=\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{e^{\mathrm{arctg}\:x}}{\sqrt{1+x^2}}+c[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\int\frac{xe^{\mathrm{arctg}\:x}\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\left(x-1\right)e^{\mathrm{arctg}\:x}}{2\sqrt{1+x^2}}+c}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 26. Septembar 2020, 19:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs