Re: Parcijalna integracija
Poslato: Ponedeljak, 15. Jul 2013, 10:58
Evo jednog s prošlogodišnjeg ispita.
Primjenjujući metode zamjene varijabli i parcijalne integracije izračunajte integral:
[dispmath]\int\sin(2x)\ln\left(\sin^2 x+\sqrt{1+\sin^4 x}\right)\mathrm dx[/dispmath]
evo kako sam ja to rješio
prvo, zamjena varijabli:
[inlmath]t=\sin^2 x\\
\mathrm dt=2\sin x\cos x=\sin(2x)\mathrm dx[/inlmath]
potom uvrštavanje nakon čega dobijemo sređeni integral
[dispmath]\int\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\mathrm dt[/dispmath]
pa primjena pravila za parcijalnu integraciju
[inlmath]u=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\\
\mathrm du=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt\\
\mathrm dv=\mathrm dt\\
v=t[/inlmath]
[dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-\int\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt[/dispmath]
ponovno supstitucija
[inlmath]k=1+t^2\\
\mathrm dk=2t\mathrm dt[/inlmath]
pa uvrštavanje
[dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-2\int\frac{\mathrm dk}{k^\frac{1}{2}}=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-2\frac{k^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}[/dispmath][dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-4\sqrt{k}=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-4\sqrt{1+t^2}+C[/dispmath]
i konačno sam dobio
[dispmath]=\sin^2(x)\ln\left(\sin^2(x)+\sqrt{1+\sin^4(x)}\right)-4\sqrt{1+\sin^4(x)}+C[/dispmath]
nadam se da je barem dio točan
Primjenjujući metode zamjene varijabli i parcijalne integracije izračunajte integral:
[dispmath]\int\sin(2x)\ln\left(\sin^2 x+\sqrt{1+\sin^4 x}\right)\mathrm dx[/dispmath]
evo kako sam ja to rješio
prvo, zamjena varijabli:
[inlmath]t=\sin^2 x\\
\mathrm dt=2\sin x\cos x=\sin(2x)\mathrm dx[/inlmath]
potom uvrštavanje nakon čega dobijemo sređeni integral
[dispmath]\int\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\mathrm dt[/dispmath]
pa primjena pravila za parcijalnu integraciju
[inlmath]u=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\\
\mathrm du=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt\\
\mathrm dv=\mathrm dt\\
v=t[/inlmath]
[dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-\int\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt[/dispmath]
ponovno supstitucija
[inlmath]k=1+t^2\\
\mathrm dk=2t\mathrm dt[/inlmath]
pa uvrštavanje
[dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-2\int\frac{\mathrm dk}{k^\frac{1}{2}}=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-2\frac{k^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}[/dispmath][dispmath]=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-4\sqrt{k}=t\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)-4\sqrt{1+t^2}+C[/dispmath]
i konačno sam dobio
[dispmath]=\sin^2(x)\ln\left(\sin^2(x)+\sqrt{1+\sin^4(x)}\right)-4\sqrt{1+\sin^4(x)}+C[/dispmath]
nadam se da je barem dio točan