Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Površina površi

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Površina površi

Postod bole » Nedelja, 31. Januar 2016, 14:07

Može li neko pogledati da li je dobro ovo što sam uradio u sljedećem zadatku
Izračunati površinu površi
[dispmath]S:\begin{cases}
z=x^2+y^2\\
z=x+y
\end{cases}[/dispmath]
nakon rješavanja sistema dobijamo kružnicu koja nam predstavlja projekciju presjeka ova dva tijela na [inlmath]xOy[/inlmath] ravan
[dispmath]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}[/dispmath]

kruznica.png
kruznica.png (1.54 KiB) Pogledano 1078 puta

i onda tražimo površinu preko površinskog integrala prva vrste
[dispmath]\iint\limits_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right)^2}\mathrm dx\mathrm dy[/dispmath]
i dobijemo
[dispmath]P=\iint\limits_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}\mathrm dx\mathrm dy+\iint\limits_D\sqrt3\mathrm dx\mathrm dy[/dispmath]
granice integrala ćemo dobiti ako uvedemo polarne koordinate
[inlmath]\begin{cases}
x=r\cdot\cos\varphi\\
y=r\cdot\sin\varphi
\end{cases}[/inlmath]
pa se sređivanjem dobije
[inlmath]0\le r\le\cos\varphi\cdot\sin\varphi\\
\frac{-\pi}{2}\le\varphi\le\pi[/inlmath]
Poslednji put menjao desideri dana Nedelja, 31. Januar 2016, 21:58, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Površina površi

Postod Onomatopeja » Nedelja, 31. Januar 2016, 20:43

Ono sto ti ovde imas u preseku nije povrs, vec kriva (i to je neki opsti slucaj, sem ako jedna povrs nije podskup one druge (dakle, veoma retko)). Sa [inlmath]z=x^2+y^2[/inlmath] je odredjen paraboloid, dok sa [inlmath]z=x+y[/inlmath] jedna ravan. I njihov presek je krug (tj. zatvorena kriva (tacnije, elipsa, ali cija je projekcija na [inlmath]Oxy[/inlmath] ravan krug)), kao sto si i nasao.

A ono sto se moze traziti, to je povrsina neke od te dve povrsi ogranicena datom krivom (tj. presekom). Ovde, u tekstu, to nije naglaseno (a trebalo je). Ali dobro, ako se bas mislilo na povrsinu koju ta kriva odseca na obe povrsi, onda da, tvoja formula jeste dobra (jer je to zbir ogranicenih povrsina od paraboloida, tj. ravni, koje odseca ovaj krug koji si napisao).

Ali, onda ti nisu dobre polarne koordinate. Naime, za [inlmath]r[/inlmath] je trebalo da dobijes [inlmath]0\le r\le\cos\varphi+\sin\varphi[/inlmath] (pri cemu iz [inlmath]\cos\varphi+\sin\varphi=\sqrt2\cos(\varphi-\frac{\pi}{4})\ge0[/inlmath] vidimo da je sve dobro definisano (da je tacno uradjeno)). Tacnije, tako kako si dobio ugao [inlmath]\varphi[/inlmath] imali bismo da [inlmath]r[/inlmath] moze biti negativno (sto naravno ne bi smelo da se desi). A stvar je zapravo u tome da ni [inlmath]\varphi[/inlmath] nisi dobro odredio (ti si to ovako vise intuitivno odredio, ali zapravo, trebalo je da povuces tangentu u [inlmath](0,0)[/inlmath] na krug, i onda vidis kako ti se ugao [inlmath]\varphi[/inlmath] krece).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

  • +2

Re: Površina površi

Postod desideri » Nedelja, 31. Januar 2016, 20:51

Uglavnom je dobro, osim malo Latexa, trebalo bi da je ono [inlmath]D[/inlmath] ispod dvojnog integrala.
E sad šta ne valja:
Granice su pogrešne.
Tačne su ti formule i izvodi i, da, telo ima dve površine, tj deo ravni i deo paraboloida.
Ali granice:
bole je napisao:pa se sređivanjem dobije
[inlmath]0\le r\le\cos\varphi\cdot\sin\varphi\\
\frac{-\pi}{2}\le\varphi\le\pi[/inlmath]

Ovo nije dobro.
Ja dobijam:
[dispmath]0\le r\le\cos\varphi+\sin\varphi[/dispmath]
E sada kaži da je kao što jeste:
[dispmath]\cos\varphi+\sin\varphi\ge0[/dispmath]
Pomnoži to s [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] i dobijaš adicionu formulu odakle je lako videti da je:
[dispmath]-\frac{\pi}{4}\le\varphi\le\frac{3\pi}{4}[/dispmath]
A to se vidi i s tvoje slike.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Površina površi

Postod bole » Nedelja, 31. Januar 2016, 21:05

Hvala puno
za [inlmath]r[/inlmath] sam i dobio
[inlmath]0\le r\le\cos\varphi+\sin\varphi[/inlmath] a šta mi je došlo da napišem puta ne znam ni sam, evo gledam i smijem se sam sebi šta sam napiso
a [inlmath]\varphi[/inlmath] sam kao što @onomatopeja reče odredio "metodom odokativno"
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:17 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs