Izračunati površinu površi
[dispmath]S:\begin{cases}
z=x^2+y^2\\
z=x+y
\end{cases}[/dispmath]
nakon rješavanja sistema dobijamo kružnicu koja nam predstavlja projekciju presjeka ova dva tijela na [inlmath]xOy[/inlmath] ravan
[dispmath]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}[/dispmath]
i onda tražimo površinu preko površinskog integrala prva vrste
[dispmath]\iint\limits_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right)^2+\left(\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right)^2}\mathrm dx\mathrm dy[/dispmath]
i dobijemo
[dispmath]P=\iint\limits_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}\mathrm dx\mathrm dy+\iint\limits_D\sqrt3\mathrm dx\mathrm dy[/dispmath]
granice integrala ćemo dobiti ako uvedemo polarne koordinate
[inlmath]\begin{cases}
x=r\cdot\cos\varphi\\
y=r\cdot\sin\varphi
\end{cases}[/inlmath]
pa se sređivanjem dobije
[inlmath]0\le r\le\cos\varphi\cdot\sin\varphi\\
\frac{-\pi}{2}\le\varphi\le\pi[/inlmath]