Da, sasvim je ok nova tema, bez brige.
Ja zaista ne vidim drugog načina, bar ne tako jednostavnog, kao preko parcijalnih razlomaka. Evo ti zasad postupci za prva dva, da možeš da uporediš sa svojim postupcima i pronađeš eventualnu grešku.
slavonija035 je napisao:[dispmath]602.\quad\int\frac{x^4+1}{x^3-x}\mathrm dx[/dispmath]
Pošto je stepen polinoma u brojiocu veći od stepena polinoma u imeniocu, treba prvo da ih podelimo:
[inlmath]\left(x^4+1\right):\left(x^3-x\right)=x\\
x^4-x^2\\
\phantom{x^4-}x^2+1[/inlmath]
pa integral možemo pisati kao:
[dispmath]\int\left(x+\frac{x^2+1}{x^3-x}\right)\mathrm dx=\int x\mathrm dx+\int\frac{x^2+1}{x^3-x}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}+\int\frac{x^2+1}{x^3-x}\mathrm dx[/dispmath]
E sad, ovaj razlomak u drugom integralu, [inlmath]\frac{x^2+1}{x^3-x}[/inlmath], rastavimo na parcijalne razlomke:
[dispmath]\frac{x^2+1}{x^3-x}=\frac{x^2+1}{x\left(x^2-1\right)}=\frac{x^2+1}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}=\frac{A\left(x^2-1\right)+Bx\left(x+1\right)+Cx\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=[/dispmath][dispmath]=\frac{Ax^2-A+Bx^2+Bx+Cx^2-Cx}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{\left(A+B+C\right)x^2+\left(B-C\right)x-A}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}[/dispmath]
Odatle imamo sistem:
[inlmath]\begin{array}{ll}
A+B+C=1\\
B-C=0\\
-A=1
\end{array}[/inlmath]
a rešenja su: [inlmath]A=-1,\;B=1,\;C=1[/inlmath]
pa je
[dispmath]\frac{x^2+1}{x^3-x}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}[/dispmath]
a integral je
[dispmath]\frac{x^2}{2}+\int\frac{x^2+1}{x^3-x}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}+\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\right)\mathrm dx=\frac{x^2}{2}-\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{x-1}+\int\frac{\mathrm dx}{x+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{x^2}{2}-\ln\left|x\right|+\ln\left|x-1\right|+\ln\left|x+1\right|+c=\frac{x^2}{2}+\ln\left|c\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x}\right|=\frac{x^2}{2}+\ln\left|c\frac{x^2-1}{x}\right|[/dispmath]
slavonija035 je napisao:[dispmath]604.\quad\int\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^4}\mathrm dx[/dispmath]
Ovde je stepen polinoma u brojiocu manji od stepena polinoma u imeniocu, pa odmah možemo krenuti s rastavljanjem na parcijalne razlomke:
[dispmath]\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^4}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{\left(x+1\right)^2}+\frac{C}{\left(x+1\right)^3}+\frac{D}{\left(x+1\right)^4}=\frac{A\left(x+1\right)^3+B\left(x+1\right)^2+C\left(x+1\right)+D}{\left(x+1\right)^4}=[/dispmath][dispmath]=\frac{A\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+B\left(x^2+2x+1\right)+Cx+C+D}{\left(x+1\right)^4}[/dispmath]
Da ne bismo sve računali, odmah možemo da primetimo da je [inlmath]A=0[/inlmath], jer se jedino uz [inlmath]A[/inlmath] nalazi kubni član, kojeg nema u polinomu iz brojioca. Izraz postaje:
[dispmath]\frac{B\left(x^2+2x+1\right)+Cx+C+D}{\left(x+1\right)^4}[/dispmath]
Pošto se jedino uz [inlmath]B[/inlmath] nalazi kvadratni član, a znamo da je u polinomu iz brojioca koeficijent uz kvadratni član jednak [inlmath]1[/inlmath], biće [inlmath]B=1[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\left(x^2+2x+1\right)+Cx+C+D}{\left(x+1\right)^4}=\frac{x^2+\left(C+2\right)x+\left(C+D+1\right)}{\left(x+1\right)^4}[/dispmath]
i odatle imamo
[inlmath]\begin{array}{ll}
C+2=2\\
C+D+1=0
\end{array}[/inlmath]
[inlmath]C=0,\;D=-1[/inlmath]
pa je razlomak jednak
[dispmath]\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^4}=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}-\frac{1}{\left(x+1\right)^4}[/dispmath]
a integral je
[dispmath]\int\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^4}\mathrm dx=\int\left[\frac{1}{\left(x+1\right)^2}-\frac{1}{\left(x+1\right)^4}\right]\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+1\right)^2}-\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+1\right)^4}=[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{3\left(x+1\right)^3}+c=\frac{1-3\left(x+1\right)^2}{3\left(x+1\right)^3}+c=-\frac{3x^2+6x+2}{3\left(x+1\right)^3}+c[/dispmath]