od Onomatopeja » Sreda, 17. Februar 2016, 09:45
Dati zadatak bih uradio na sledeci nacin: prvo, obelezimo [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{1-x^2}[/inlmath] za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] i primetimo da su u nasem integralu problematicne tacke [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (odnosno kada se priblizavamo tim tackama sa desne, tj. leve strane). Zato, napisimo nas integral kao
[dispmath]\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx+\int_{1/2}^1\!\:\!f(x)\,dx.[/dispmath]
No, kako je [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x)=-\frac{1}{2}[/inlmath], to mozemo dodefinisati [inlmath]f(x)[/inlmath] po neprekidnosti na segmentu [inlmath]\bigl[\frac{1}{2},1\bigr][/inlmath]. A kako dalje znamo da je neprekidna funkcija na segmentu i integrabilna, to onda [inlmath]\displaystyle\int_{1/2}^1\!\:\!f(x)\,dx[/inlmath] postoji i predstavlja konacnu vrednost.
Dakle, potrebno je jos pokazati da [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx[/inlmath] konvergira. To obicno radimo tako sto ga uporedimo sa nekim od integrala oblika [inlmath]\displaystyle\int_0^a\frac{dx}{x^\alpha}[/inlmath], za koji znamo da konvergira za [inlmath]\alpha<1[/inlmath] (naravno, [inlmath]a>0[/inlmath] proizvoljno (ne, ne mora biti striktno jedinica, kako mnogi ponekad pomisle)). Naime, dovoljno je uzeti [inlmath]\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] (moglo je bilo sta iz [inlmath](0,1)[/inlmath]), jer vazi [inlmath]f(x)=o(x^{-1/2})[/inlmath], kad [inlmath]x\to0^+[/inlmath], a kako je [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!x^{-1/2}\,dx[/inlmath] konvergentan, to je onda konvergentan i integral [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx[/inlmath].
@desideri: super je ako se zna da se eksplicitno izracuna integral (cime onda sigurno konvergira), sto je i moguce u ovom primeru, ali zaista sumnjam da se to ovde ocekivalo (tj. mislim da je ovo ipak zadatak iz nekog uvodnog kursa analize). Za tvoje resenje je ipak potrebno malo vise teorije, jer je potreban i pojam ravnomerne (uniformne) konvergencije, da bi mogao da zamenis mesta integralu i sumi (sto je obicno najteze za opravdati u ovakvim zadacima (koji mogu da se izracunaju)). I da, mislim da ovo definitivno nije zadatak za srednju skolu/master studije/doktorske studije (za drugo i trece, to bi bilo malo i tuzno).