Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Konvergencija integrala

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Konvergencija integrala

Postod Gandalf » Subota, 13. Februar 2016, 02:05

Pozdrav.

Da li neko ima ideju kako da se pokaže da li integral
[dispmath]\int\limits_0^1\frac{\ln x}{1-x^2}\mathrm dx[/dispmath]
konvergira.

Bilo kakav savjet je dobro došao.

Hvala.
Gandalf  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Konvergencija integrala

Postod desideri » Subota, 13. Februar 2016, 14:32

Neophodan je izvor, tj odakle je zadatak.
Ja sam integral rešio i dobio rezultat [inlmath]-\frac{\pi^2}{8}[/inlmath].

A radio sam ga tako što znam da je nesvojstveni integral pa su obe granice "nezgodne".
Tj [inlmath]1[/inlmath] se ne "uklapa" u imenilac podintegralne funkcije, a [inlmath]0[/inlmath] se ne "uklapa" u brojilac.
Pustio sam dva limesa i dobio rezultat.
Ono što mi nije jasno je da li treba prosto uraditi zadatak i pokazati da je rezultat konačna vrednost ili se traži teorijsko ispitivanje i dokazivanje da li integral konvergira ili divergira?
Molim za pojašnjenje.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Konvergencija integrala

Postod Gandalf » Subota, 13. Februar 2016, 20:55

@desideri

Dovoljno je pokazati da on ili konvergira ili divergira, sad ne boli ako se i izračuna.

Meni nikako nije jasno kako uspiješ dobiti taj rezultat?

Ja sam dobio da on konvergira prema [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] kad se [inlmath]x[/inlmath] približava [inlmath]1[/inlmath] sa lijeve strane.

Sad kako dobi [inlmath]-\frac{\pi^2}{8}[/inlmath] nije mi jasno?
Gandalf  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Konvergencija integrala

Postod desideri » Ponedeljak, 15. Februar 2016, 14:42

@Gandalf, ne znam zašto ignorišeš ovo:
desideri je napisao:Neophodan je izvor, tj odakle je zadatak.

Naime, ja ne znam da li je zadatak za srednju školu, fakultet, osnovne studije, master studije ili doktorske studije. Može biti bilo koja oblast studija.
I šta je izvor? Koja zbirka, koji ispit ili šta već?
Razlika je u primeni alata koji se koriste i to je jako bitno.

Tvoje rešenje ne pije vodu, po meni.
Ja sam podintegralnu funkciju rastavio ovako:
[dispmath]\int\limits_0^1\frac{\ln x}{1-x^2}\mathrm dx=\frac{1}{2}\int\limits_0^1\left(\frac{\ln x}{1+x}+\frac{\ln x}{1-x}\right)\mathrm dx[/dispmath]
Potom sam ovo rastavio na dva integrala uz odgovarajuće limese jer su nesvojstveni i razvijao u red podintegralne funkcije.
Moj rezultat je tačan.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Konvergencija integrala

Postod desideri » Ponedeljak, 15. Februar 2016, 21:42

Da se doreknem:
Nadam se da ti je poznato da je:
[dispmath]\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}[/dispmath]
Naravno za [inlmath]-1<x\le1[/inlmath]
Potom ima tu još par suma harmonijskih redova i to je to.
No ponavljam, nisi mi odgovorio koji je nivo, koji je izvor.
Pozdrav.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Konvergencija integrala

Postod desideri » Ponedeljak, 15. Februar 2016, 21:53

I još:
Ovo je poznata suma (tablična koliko ja znam i relativno lako dokaziva):
[dispmath]\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/dispmath]
Ti ćeš imati u ovom postupku i alternativne redove, sve je to ok ali te po treći put molim da navedeš izvor i nivo inače idemo i na kompleksnu analizu.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Konvergencija integrala

Postod Onomatopeja » Sreda, 17. Februar 2016, 09:45

Dati zadatak bih uradio na sledeci nacin: prvo, obelezimo [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{1-x^2}[/inlmath] za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath] i primetimo da su u nasem integralu problematicne tacke [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (odnosno kada se priblizavamo tim tackama sa desne, tj. leve strane). Zato, napisimo nas integral kao
[dispmath]\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx+\int_{1/2}^1\!\:\!f(x)\,dx.[/dispmath]
No, kako je [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x)=-\frac{1}{2}[/inlmath], to mozemo dodefinisati [inlmath]f(x)[/inlmath] po neprekidnosti na segmentu [inlmath]\bigl[\frac{1}{2},1\bigr][/inlmath]. A kako dalje znamo da je neprekidna funkcija na segmentu i integrabilna, to onda [inlmath]\displaystyle\int_{1/2}^1\!\:\!f(x)\,dx[/inlmath] postoji i predstavlja konacnu vrednost.
Dakle, potrebno je jos pokazati da [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx[/inlmath] konvergira. To obicno radimo tako sto ga uporedimo sa nekim od integrala oblika [inlmath]\displaystyle\int_0^a\frac{dx}{x^\alpha}[/inlmath], za koji znamo da konvergira za [inlmath]\alpha<1[/inlmath] (naravno, [inlmath]a>0[/inlmath] proizvoljno (ne, ne mora biti striktno jedinica, kako mnogi ponekad pomisle)). Naime, dovoljno je uzeti [inlmath]\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] (moglo je bilo sta iz [inlmath](0,1)[/inlmath]), jer vazi [inlmath]f(x)=o(x^{-1/2})[/inlmath], kad [inlmath]x\to0^+[/inlmath], a kako je [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!x^{-1/2}\,dx[/inlmath] konvergentan, to je onda konvergentan i integral [inlmath]\displaystyle\int_0^{1/2}\!f(x)\,dx[/inlmath].

@desideri: super je ako se zna da se eksplicitno izracuna integral (cime onda sigurno konvergira), sto je i moguce u ovom primeru, ali zaista sumnjam da se to ovde ocekivalo (tj. mislim da je ovo ipak zadatak iz nekog uvodnog kursa analize). Za tvoje resenje je ipak potrebno malo vise teorije, jer je potreban i pojam ravnomerne (uniformne) konvergencije, da bi mogao da zamenis mesta integralu i sumi (sto je obicno najteze za opravdati u ovakvim zadacima (koji mogu da se izracunaju)). I da, mislim da ovo definitivno nije zadatak za srednju skolu/master studije/doktorske studije (za drugo i trece, to bi bilo malo i tuzno).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

  • +1

Re: Konvergencija integrala

Postod desideri » Sreda, 17. Februar 2016, 18:42

@Onomatopeja,
apsolutno se slažem s tvojim prethodnim postom (uostalom i sa svim tvojim postovima) ali korisniku po četvrti put postavljam pitanje odakle je izvor, tj. zadatak.
Ja ovim ne požurujem korisnika, ne. Jednostavno zbog ostalih korisnika insistiram na ovome.
Značiće ljudima. Ako ikad odgovori @Gandalf.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Konvergencija integrala

Postod choco » Subota, 12. Mart 2016, 01:40

Pozdrav!

Kako da odredim da li je integral kovergentan/divergentan? Znam da se to moze preko limesa, ali mislim da ovdje to ne mogu primijeniti ili? Bila bih jako zahvala ako bi mi neko mogao objasniti najjednostavniji nacin na osnovu kog bih mogla utvrditi konvergenciju, tj. divergenciju.
[dispmath]\int\limits_{-\infty}^0\!x^2\cdot e^{-x^2}\,\mathrm dx[/dispmath]
choco  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Konvergencija integrala

Postod desideri » Subota, 12. Mart 2016, 17:08

Konvergira ovaj integral, baš sam i rezultat dobio:
[dispmath]\frac{\sqrt\pi}{4}[/dispmath]
Uveo sam smenu najpre [inlmath]x=-t[/inlmath] a potom i smenu [inlmath]t^2=z[/inlmath].
Potom sam iskoristio osobine gama funkcije, tj. nesvojstvenog integrala.
E sada znam da ću dobiti kritike od kolega iz moderatorskog tima jer je ovde u pitanju konvergencija a ne uraditi integral, ali ja jednostavno nisam odoleo.
Obožavam integrale, a posebno ovog tipa.
Izvinjavam se korisnici ako odgovor nije kompletan, mogu se ja i doreknuti.
Uostalom postovaću sve, ceo postupak ako to bilo ko zahteva.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Sledeća

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 21 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs