Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Integral preko metoda neodređenih koeficijenata

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Integral preko metoda neodređenih koeficijenata

Postod whodin » Nedelja, 20. Mart 2016, 21:24

Dolazim do problema prilikom rešavanja ovog zadatka:
[dispmath]\int\frac{x^3+4x^2+4x}{x^4+x}\,\mathrm dx[/dispmath]
Prvo sam sredila razlomak
[dispmath]\int\frac{x\left(x^2+4x+4\right)}{x\left(x^3+1\right)}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\frac{x^2+4x+4}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]
Pa sam primenila metod neodređenih koeficijeata:
[dispmath]=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/dispmath][dispmath]=\frac{Ax^2-Ax+A+Bx^2+B+Cx+C}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath]
[inlmath]A+B=1\quad\Rightarrow\quad B=1-A\\
C-A=4\quad\Rightarrow\quad C=4+A\\
A+B+C=4\\
A=-1,\;B=2,\;C=3[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{-1}{x+1}\,\mathrm dx+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
Ovde se uvodi zamena [inlmath]t=x+1\quad\Rightarrow\quad\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]=-\int\frac{1}{t}\,\mathrm dt+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]=-\ln|t|+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
i posle ovoga ne znam šta dalje da radim sa integralom :
[dispmath]\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
:unsure:
Korisnikov avatar
whodin  OFFLINE
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Integral preko metoda neodređenih koeficijenata

Postod Ilija » Nedelja, 20. Mart 2016, 21:50

Mozes ovaj integral napisati tako da jedan deo brojioca predstavlja izvod imenioca. Dakle:

[dispmath]\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx=\int\frac{2x-1+4}{x^2-x+1}\,\mathrm dx=\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,\mathrm dx+4\int\frac{\mathrm dx}{x^2-x+1}[/dispmath]
Sad za ovaj prvi jednostavno uvedes smenu [inlmath]x^2-x+1=z[/inlmath] i to ce da se svede na tablicni. Sto se tice drugog integrala, mozes imenilac dopuniti do kvadrata binoma, pa onda uvesti smenu (jer ce to liciti na tablicni za arkus tangens). Znaci:
[dispmath]4\int\frac{\mathrm dx}{x^2-x+1}=4\int\frac{\mathrm dx}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}[/dispmath]
Uvedes smenu [inlmath]x-\frac{1}{2}=m[/inlmath], pa se to svede na:
[dispmath]4\int\frac{\mathrm dx}{m^2+\frac{3}{4}}[/dispmath]
Dalje je to valjda lako. :)

Mozda moze i lakse, ali ovo mi prvo pade na pamet. :D
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +1

Re: Integral preko metoda neodređenih koeficijenata

Postod Daniel » Nedelja, 20. Mart 2016, 23:44

@whodin, možeš pogledati i ovaj post.

Inače, ovde imaš grešku:
whodin je napisao:[dispmath]=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/dispmath][dispmath]=\frac{Ax^2-Ax+A+Bx^2+B+Cx+C}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath]

Treba da bude
[dispmath]=\frac{Ax^2-Ax+A+Bx^2+B{\color{red}x}+Cx+C}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Integral preko metoda neodređenih koeficijenata

Postod whodin » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 00:25

@Ilija Da da, razdvojila sam ga ja u jednom trenutku ali me je ovo [inlmath]x^2-x+1[/inlmath] zbunjivalo, hvala u svakom slučaju! :)
@Daniel Hvala na ukazanoj grešci, to bukvalno menja celi zadatak :D
Korisnikov avatar
whodin  OFFLINE
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 43 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 16:07 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs