Dolazim do problema prilikom rešavanja ovog zadatka:
[dispmath]\int\frac{x^3+4x^2+4x}{x^4+x}\,\mathrm dx[/dispmath]
Prvo sam sredila razlomak
[dispmath]\int\frac{x\left(x^2+4x+4\right)}{x\left(x^3+1\right)}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\int\frac{x^2+4x+4}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]
Pa sam primenila metod neodređenih koeficijeata:
[dispmath]=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/dispmath][dispmath]=\frac{Ax^2-Ax+A+Bx^2+B+Cx+C}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}[/dispmath]
[inlmath]A+B=1\quad\Rightarrow\quad B=1-A\\
C-A=4\quad\Rightarrow\quad C=4+A\\
A+B+C=4\\
A=-1,\;B=2,\;C=3[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{-1}{x+1}\,\mathrm dx+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
Ovde se uvodi zamena [inlmath]t=x+1\quad\Rightarrow\quad\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]=-\int\frac{1}{t}\,\mathrm dt+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]=-\ln|t|+\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
i posle ovoga ne znam šta dalje da radim sa integralom :
[dispmath]\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]