Prvo da skrenem pažnju na neke sitnije greške,
whodin je napisao:[inlmath]\mathrm dx=x'[/inlmath]
Fali ti [inlmath]\mathrm dt[/inlmath]. Dakle, [inlmath]\mathrm dx=x'\,{\color{red}\mathrm dt}[/inlmath].
whodin je napisao:[inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}[/inlmath]
Takođe, fali [inlmath]\mathrm dt[/inlmath], ali i izraz u imeniocu treba da bude kvadriran: [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{6t-2t^2-4}{\left(3-2t\right)^{\color{red}2}}\,{\color{red}\mathrm dt}[/inlmath]
whodin je napisao:[dispmath]\int\frac{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)-\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)+\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}\cdot\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}\,\mathrm dt[/dispmath]
Takođe, i ovde fali kvadrat, treba
[dispmath]\int\frac{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)-\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)+\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}\cdot\frac{6t-2t^2-4}{\left(3-2t\right)^{\color{red}2}}\,\mathrm dt[/dispmath]
whodin je napisao:To kad sredim dobijem:
[dispmath]\int\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}\,\mathrm dt[/dispmath]
Međutim, ovaj izraz jeste u redu, do njega bismo i došli da smo u prethodnim koracima imali taj kvadrat.
A sad, malo krupnija greška:
whodin je napisao:[dispmath]\int\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}\,\mathrm dt[/dispmath]
Primena metode neodređenih koeficijenata:
[dispmath]=\frac{A}{3t-4}+\frac{B}{3-2t}[/dispmath][dispmath]=\frac{3A-2At+3Bt-4B}{(3t-4)(3-2t)}[/dispmath]
Ovo ne smeš ovako da radiš. Na ovaj način si zanemarila sabirke [inlmath]2t^3[/inlmath] i [inlmath]-6t^2[/inlmath] u brojiocu (pored toga što si i sabirak [inlmath]4t[/inlmath] greškom posmatrala kao [inlmath]-4t[/inlmath]).
Kada ti je stepen polinoma u brojiocu veći ili jednak od stepena polinoma u imeniocu (kao što je ovde slučaj), tada taj nepravi razlomak moraš prvo svesti na pravi razlomak:
[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=G\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/dispmath]
gde je [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] kolilčnik, a [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath].
Tada integral polinoma [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] lako nađemo, a integral količnika [inlmath]\displaystyle\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/inlmath] računamo rastavljanjem na parcijalne razlomke (to jest, primenom metode neodređenih koeficijenata kako ti kažeš, mada ja za taj izraz nisam dosad čuo, osim kod rešavanja diferencijalnih jednačina).
Uostalom, hajde da proverimo rezultat tvog (pogrešnog) postupka:
whodin je napisao:[inlmath]-2A+3B=-4,\;3A+4B=0\\
A=-16,\;B=-12[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{-16}{3t-4}\,\mathrm dt+\int\frac{-12}{3-2t}\mathrm dt[/dispmath]
[dispmath]\frac{-16}{3t-4}+\frac{-12}{3-2t}=\frac{-16\left(3-2t\right)-12\left(3t-4\right)}{\left(3t-4\right)\left(3-2t\right)}=\frac{-4t}{\left(3t-4\right)\left(3-2t\right)}{\color{red}\ne}\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}[/dispmath]