Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Prva Ojlerova smena

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Prva Ojlerova smena

Postod whodin » Nedelja, 20. Mart 2016, 21:54

Zadatak sa integralom korišćenjem Ojlerove smene:
[dispmath]\int\frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}\,\mathrm dx[/dispmath]
Primena 1. ojlerove smene
[inlmath]\sqrt{x^2+3x+2}=t+x\\
\left(x^2+3x+2\right)=t^2+2tx+x^2\\
3x-2tx=t^2-2\\
\displaystyle x=\frac{t^2-2}{3-2t}[/inlmath]

[inlmath]\mathrm dx=x'\\
\displaystyle\mathrm dx=\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)-\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)+\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}\cdot\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}\,\mathrm dt[/dispmath]
To kad sredim dobijem:
[dispmath]\int\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}\,\mathrm dt[/dispmath]
Primena metode neodređenih koeficijenata:
[dispmath]=\frac{A}{3t-4}+\frac{B}{3-2t}[/dispmath][dispmath]=\frac{3A-2At+3Bt-4B}{(3t-4)(3-2t)}[/dispmath]
[inlmath]-2A+3B=-4,\;3A+4B=0\\
A=-16,\;B=-12[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{-16}{3t-4}\,\mathrm dt+\int\frac{-12}{3-2t}\mathrm dt[/dispmath]
[inlmath]\displaystyle3t-4=s,\;3\mathrm dt=\mathrm ds,\;\mathrm dt=\frac{\mathrm ds}{3}\\
\displaystyle3-2t=d,\;-2\mathrm dt=\mathrm dd,\;\mathrm dt=\frac{\mathrm dd}{-2}[/inlmath]
[dispmath]-16\cdot\int\frac{1}{s}\left(\frac{\mathrm ds}{3}\right)-12\cdot\int\frac{1}{d}\left(\frac{\mathrm dd}{-2}\right)[/dispmath]
Ovo kad sredim dobijam:
[dispmath]\frac{-16}{3}\ln|3t-4|+6\ln|3-2t|[/dispmath]
Da li ovako ostavljam rešenje zadatka ili treba ovo [inlmath]t[/inlmath] da vratim u početno [inlmath]x[/inlmath]?
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 21. Mart 2016, 00:10, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija grešaka u Latexu na koje je Ilija ukazao
Korisnikov avatar
whodin  OFFLINE
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Prva Ojlerova smena

Postod Ilija » Nedelja, 20. Mart 2016, 22:10

Pa trebalo bi uvek to da se vrati. Koja promenljiva figurise u postavci zadatka, trebalo bi da se nadje i u resenju samog zadatka. Dakle, ako je integral po [inlmath]x[/inlmath] i resenje treba prikazati po [inlmath]x[/inlmath]. Dakle, vratiti sve smene. E sad, ako je bas nesto ruzno i teze za sredjivanje ukoliko se smene vrate, pa profesor i tolerise da se smene ne vracaju, to je u redu. Ali to opet zavisi od onog ko ce to pregledati. Mada, ne vidim nista tesko u tome da se smene vrate. :)

Male zamerke oko koriscenja Latex-a...za mnozenje umesto *, koristi \cdot (sto ce dati [inlmath]\cdot[/inlmath]), a kad pod korenom imas vise od jednog elementa stavi to u {}, da bi sve uslo pod koren. :)
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Prva Ojlerova smena

Postod whodin » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 00:22

U redu, i važi, nisam odavno bila ovde, pa nisam mogla da se setim da li se nešto korisit umesto * :)
Korisnikov avatar
whodin  OFFLINE
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Prva Ojlerova smena

Postod Daniel » Ponedeljak, 21. Mart 2016, 01:11

Prvo da skrenem pažnju na neke sitnije greške,
whodin je napisao:[inlmath]\mathrm dx=x'[/inlmath]

Fali ti [inlmath]\mathrm dt[/inlmath]. Dakle, [inlmath]\mathrm dx=x'\,{\color{red}\mathrm dt}[/inlmath].

whodin je napisao:[inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}[/inlmath]

Takođe, fali [inlmath]\mathrm dt[/inlmath], ali i izraz u imeniocu treba da bude kvadriran: [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{6t-2t^2-4}{\left(3-2t\right)^{\color{red}2}}\,{\color{red}\mathrm dt}[/inlmath]

whodin je napisao:[dispmath]\int\frac{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)-\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)+\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}\cdot\frac{6t-2t^2-4}{3-2t}\,\mathrm dt[/dispmath]

Takođe, i ovde fali kvadrat, treba
[dispmath]\int\frac{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)-\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}{\displaystyle\left(\frac{t^2-2}{3-2t}\right)+\left(t+\frac{t^2-2}{3-2t}\right)}\cdot\frac{6t-2t^2-4}{\left(3-2t\right)^{\color{red}2}}\,\mathrm dt[/dispmath]

whodin je napisao:To kad sredim dobijem:
[dispmath]\int\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}\,\mathrm dt[/dispmath]

Međutim, ovaj izraz jeste u redu, do njega bismo i došli da smo u prethodnim koracima imali taj kvadrat.



A sad, malo krupnija greška:
whodin je napisao:[dispmath]\int\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}\,\mathrm dt[/dispmath]
Primena metode neodređenih koeficijenata:
[dispmath]=\frac{A}{3t-4}+\frac{B}{3-2t}[/dispmath][dispmath]=\frac{3A-2At+3Bt-4B}{(3t-4)(3-2t)}[/dispmath]

Ovo ne smeš ovako da radiš. Na ovaj način si zanemarila sabirke [inlmath]2t^3[/inlmath] i [inlmath]-6t^2[/inlmath] u brojiocu (pored toga što si i sabirak [inlmath]4t[/inlmath] greškom posmatrala kao [inlmath]-4t[/inlmath]).

Kada ti je stepen polinoma u brojiocu veći ili jednak od stepena polinoma u imeniocu (kao što je ovde slučaj), tada taj nepravi razlomak moraš prvo svesti na pravi razlomak:
[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=G\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/dispmath]
gde je [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] kolilčnik, a [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath].
Tada integral polinoma [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] lako nađemo, a integral količnika [inlmath]\displaystyle\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/inlmath] računamo rastavljanjem na parcijalne razlomke (to jest, primenom metode neodređenih koeficijenata kako ti kažeš, mada ja za taj izraz nisam dosad čuo, osim kod rešavanja diferencijalnih jednačina).

Uostalom, hajde da proverimo rezultat tvog (pogrešnog) postupka:
whodin je napisao:[inlmath]-2A+3B=-4,\;3A+4B=0\\
A=-16,\;B=-12[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{-16}{3t-4}\,\mathrm dt+\int\frac{-12}{3-2t}\mathrm dt[/dispmath]

[dispmath]\frac{-16}{3t-4}+\frac{-12}{3-2t}=\frac{-16\left(3-2t\right)-12\left(3t-4\right)}{\left(3t-4\right)\left(3-2t\right)}=\frac{-4t}{\left(3t-4\right)\left(3-2t\right)}{\color{red}\ne}\frac{-t\left(6t-2t^2-4\right)}{(3t-4)(3-2t)}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 22:20 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs