Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Smena kod ODREDJENOG integrala i monotonost

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Re: Smena kod ODREDJENOG integrala i monotonost

Postod Daniel » Ponedeljak, 03. Oktobar 2016, 08:36

Onomatopeja je napisao:Problem kod tog primera je da ako uzmemo [inlmath]t=\sin x[/inlmath] onda kod trazenja [inlmath]dx[/inlmath] imamo [inlmath]\displaystyle dx=\pm\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath]. Dakle, imamo taj deo [inlmath]\pm[/inlmath]. Deo [inlmath]+[/inlmath] dobijamo kada je [inlmath]\cos[/inlmath] pozitivan, tj. od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi/2[/inlmath], a minus kada je negativan, tj. od [inlmath]\pi/2[/inlmath] do [inlmath]5\pi/6[/inlmath].

Čisto da još malo pojasnim ukoliko je potrebno – ovo citirano sledi iz načina na koji se jednačina [inlmath]\sin x=t[/inlmath] rešava po [inlmath]x[/inlmath]. Ukoliko [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\Bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath] (što predstavlja, zapravo, kodomen arkus sinusa), tada je rešenje te jednačine jednostavno [inlmath]x=\arcsin t[/inlmath]. Odatle sledi i da je [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath] (dakle, s plusom ispred razlomačke crte).
Međutim, ukoliko [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\Bigl[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada rešenje jednačine [inlmath]\sin x=t[/inlmath] nije [inlmath]x=\arcsin t[/inlmath], već je [inlmath]x=\pi-\arcsin t[/inlmath]. Odatle sledi i da je [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath] (dakle, s minusom ispred razlomačke crte).



Do istog zaključka se može doći i na sledeći način. Imamo, dakle, [inlmath]\sin x=t[/inlmath], pa diferenciramo obe strane:
[dispmath]\cos x\,\mathrm dx=\mathrm dt[/dispmath]
Kada je [inlmath]x\in\Bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada je kosinus pozitivan, pa važi [inlmath]\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] (s plusom ispred korena):
[dispmath]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{1-\sin^2x}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{1-t^2}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/dispmath]
Međutim, kada je [inlmath]x\in\Bigl[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada je kosinus negativan, pa važi [inlmath]\cos x=-\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] (s minusom ispred korena):
[dispmath]x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]\quad\Longrightarrow\quad-\sqrt{1-\sin^2x}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad-\sqrt{1-t^2}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\mathrm dx=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Smena kod ODREDJENOG integrala i monotonost

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 03. Oktobar 2016, 17:34

Ja bih napomenuo da sam radio na ovaj drugi nacin, tj. bez pozivanja na inverznu funkciju (jer nam ona nije ni neophodna, sto je i bio cilj). [a i naglasio sam u svom postu da nam taj plus/minus znak diktira kosinus]
 
Postovi: 610
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 584 puta

Prethodna

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 25. Septembar 2020, 11:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs