Onomatopeja je napisao:Problem kod tog primera je da ako uzmemo [inlmath]t=\sin x[/inlmath] onda kod trazenja [inlmath]dx[/inlmath] imamo [inlmath]\displaystyle dx=\pm\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath]. Dakle, imamo taj deo [inlmath]\pm[/inlmath]. Deo [inlmath]+[/inlmath] dobijamo kada je [inlmath]\cos[/inlmath] pozitivan, tj. od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi/2[/inlmath], a minus kada je negativan, tj. od [inlmath]\pi/2[/inlmath] do [inlmath]5\pi/6[/inlmath].
Čisto da još malo pojasnim ukoliko je potrebno – ovo citirano sledi iz načina na koji se jednačina [inlmath]\sin x=t[/inlmath] rešava po [inlmath]x[/inlmath]. Ukoliko [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\Bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath] (što predstavlja, zapravo, kodomen arkus sinusa), tada je rešenje te jednačine jednostavno [inlmath]x=\arcsin t[/inlmath]. Odatle sledi i da je [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath] (dakle, s plusom ispred razlomačke crte).
Međutim, ukoliko [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\Bigl[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada rešenje jednačine [inlmath]\sin x=t[/inlmath] nije [inlmath]x=\arcsin t[/inlmath], već je [inlmath]x=\pi-\arcsin t[/inlmath]. Odatle sledi i da je [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath] (dakle, s minusom ispred razlomačke crte).
Do istog zaključka se može doći i na sledeći način. Imamo, dakle, [inlmath]\sin x=t[/inlmath], pa diferenciramo obe strane:
[dispmath]\cos x\,\mathrm dx=\mathrm dt[/dispmath]
Kada je [inlmath]x\in\Bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada je kosinus pozitivan, pa važi [inlmath]\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] (s plusom ispred korena):
[dispmath]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{1-\sin^2x}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{1-t^2}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/dispmath]
Međutim, kada je [inlmath]x\in\Bigl[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada je kosinus negativan, pa važi [inlmath]\cos x=-\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] (s minusom ispred korena):
[dispmath]x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]\quad\Longrightarrow\quad-\sqrt{1-\sin^2x}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad-\sqrt{1-t^2}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\mathrm dx=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/dispmath]