Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Određeni integral preko integralne sume

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Određeni integral preko integralne sume

Postod Gogele » Nedelja, 11. Decembar 2016, 17:46

Imam problem sa sledećim zadatkom:

Deleći interval integracije tako da apscise deonih tačaka obrazuju geometrijski niz, pokazati da je:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x^2}=\ln2.[/dispmath] Šta sam ja dosad uradio:

Umetnuo sam [inlmath]m[/inlmath] brojeva između [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], kako bi obrazovali potrebnu podelu. Dobio sam sledeću podelu [inlmath]P_n[/inlmath]:
[inlmath]P_n:\;1,2^\frac{1}{n},2^\frac{2}{n},\ldots,2^\frac{n-2}{n},2^\frac{n-1}{n},2.[/inlmath]
U svakoj podeli je razlika drugog i prvog člana najveća od svih razlika između susednih apscisa, pa je [inlmath]\lambda_n=\sqrt[n]2-1[/inlmath]. Niz ovih razlika teži nuli kada [inlmath]n[/inlmath] teži ka beskonačnom.

U [inlmath]n[/inlmath]-toj podeli sam za proizvoljnu tačku iz svakog podeoka [inlmath]\left(\sqrt[n]{2^i},\sqrt[n]{2^{i+1}}\right][/inlmath], uzeo tačku [inlmath]\xi_i=\sqrt[n]{2^{i+1}}[/inlmath], gde je [inlmath]i=1,2,\ldots,n-1[/inlmath]. Sada sam dobio sledeći integralnu sumu [inlmath]\sigma_n[/inlmath]:
[inlmath]\sigma_n=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{1}{\sqrt[k]{2^{i+1}}}\cdot\left(\sqrt[k]{2^{i+1}}-\sqrt[k]{2^i}\right)=\cdots=n-1+\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath].

Granična vrednost dobijene integralne sume kad [inlmath]n[/inlmath] teži ka beskonačnom nije [inlmath]\ln2[/inlmath]. Molim vas da mi kažete gde sam sve pogrešio.
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 11. Decembar 2016, 21:32, izmenjena samo jedanput
Razlog: Ispravka greške u kucanju; sitnije korekcije Latexa
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Određeni integral preko integralne sume

Postod Daniel » Nedelja, 11. Decembar 2016, 21:32

Gogele je napisao:Deleći integral integracije

Greška u kucanju, pretpostavljam. Ispravio sam ti.

Gogele je napisao:pokazati da je:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x^2}=\ln2.[/dispmath]

Ovaj integral nije jednak [inlmath]\ln2[/inlmath], već je jednak [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].
Ukoliko integral zapravo glasi [inlmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath] (bez kvadrata u imeniocu), tada rešenje jeste [inlmath]\ln2[/inlmath] i taj zadatak smo već imali u ovoj temi.

Gogele je napisao:U svakoj podeli je razlika drugog i prvog člana najveća od svih razlika između susednih apscisa,

Ne, upravo obrnuto. Ukoliko je u pitanju geometrijski niz kod kojeg je količnik veći od jedinice (kao što ovde jeste slučaj), razlika drugog i prvog člana je najmanja, dok je najveća razlika poslednjeg i pretposlednjeg člana.

Gogele je napisao:U [inlmath]n[/inlmath]-toj podeli sam za proizvoljnu tačku iz svakog podeoka [inlmath]\left(\sqrt[n]{2^i},\sqrt[n]{2^{i+1}}\right][/inlmath], uzeo tačku [inlmath]\xi_i=\sqrt[n]{2^{i+1}}[/inlmath], gde je [inlmath]i=1,2,\ldots,n-1[/inlmath].

[inlmath]i[/inlmath] treba da ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n-1[/inlmath].

Gogele je napisao:Sada sam dobio sledeći integralnu sumu [inlmath]\sigma_n[/inlmath]:
[inlmath]\sigma_n=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=0}^{k-1}\frac{1}{\sqrt[k]{2^{i+1}}}\cdot\left(\sqrt[k]{2^{i+1}}-\sqrt[k]{2^i}\right)=\cdots=n-1+\left(\frac{1}{2}\right)^n[/inlmath].

Ne razumem kako si dobio dvostruku sumu.
U članu ispred zagrade, [inlmath]\frac{1}{\sqrt[k]{2^{i+1}}}[/inlmath], nisi kvadrirao imenilac (što je i u redu ako integral zapravo glasi [inlmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Re: Određeni integral preko integralne sume

Postod Gogele » Utorak, 13. Decembar 2016, 09:01

Daniel je napisao:Ukoliko integral zapravo glasi [inlmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}[/inlmath] (bez kvadrata u imeniocu), tada rešenje jeste [inlmath]\ln2[/inlmath] i taj zadatak smo već imali u ovoj temi.

To je taj zadatak. Ja sam pogrešno otkucao tekst.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 17. Februar 2020, 15:58 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs