Trostruki integral po figuri
Poslato: Utorak, 24. Januar 2017, 17:38
Postavio sam ovo pitanje na proslu temu sto sam napravio u dijelu grafik funkcija, ali sam shvatio da joj tamo nije mjesto pa sam odlucio da je ovdje postavim. Kako nijesam stigao da izbrisem taj post, ako nekom nije problem neka ga izbrise da ne pravi guzvu.
treba da izracunam sledeci integral:
[dispmath]\iiint\left(x^2+y^2\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz[/dispmath] za oblast [inlmath]x^2+y^2+z^2=a^2[/inlmath] gdje je [inlmath]z>0[/inlmath] tj. samo gornja polulopta.
Rjesenje ispada [inlmath]\frac{4\cdot a^5\cdot\pi}{15}[/inlmath]
Koristio sam sferne koordinate i dobijam tacan rezultat kada postavim granice za ugao [inlmath]0<\theta<\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]0<\phi<\pi[/inlmath] tj. prepolovim krug, a zatim to sto sam dobio pomnozim sa [inlmath]2[/inlmath]. Ali ako stavim granicu [inlmath]0<\theta<\pi[/inlmath] citav integral sto dobijem koji zavisi od sinusa se izjednacava sa nulom i dobijem drugaciji rezultat.
Poslednja formula koju dobijem izgleda ovako:
[dispmath]\int\mathrm d\phi\cdot\left(-\sin^2\theta\cdot\cos\theta+\frac{2\cdot\sin^3\theta}{3}\right)\cdot\frac{a^5}{5}[/dispmath] gdje je [inlmath]0<\theta<\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]0<\phi<\pi[/inlmath] za prvi nacin i [inlmath]0<\theta<\pi[/inlmath] i [inlmath]0<\phi<2\cdot\pi[/inlmath] za drugi nacin
Vazno je napomenut da sam ja koristio drugacije sferne koordintate od onih na vasem sajtu tj.
[dispmath]z=r\cdot\cos\theta;\quad x=r\cdot\cos\phi\cdot\sin\theta;\quad y=r\cdot\sin\phi\cdot\sin\theta[/dispmath] Vjerujem da je problem do ugla [inlmath]\theta[/inlmath] i da postoje neka ogranicenja dokle taj ugao moze ici, da li to sto je sinus pozitivna funkcija na intervalu [inlmath]0<\theta<\pi[/inlmath] ima takav uticaj da kada stavimo te granice na suprotne krajeve integrala da se oni pokrate?
treba da izracunam sledeci integral:
[dispmath]\iiint\left(x^2+y^2\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz[/dispmath] za oblast [inlmath]x^2+y^2+z^2=a^2[/inlmath] gdje je [inlmath]z>0[/inlmath] tj. samo gornja polulopta.
Rjesenje ispada [inlmath]\frac{4\cdot a^5\cdot\pi}{15}[/inlmath]
Koristio sam sferne koordinate i dobijam tacan rezultat kada postavim granice za ugao [inlmath]0<\theta<\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]0<\phi<\pi[/inlmath] tj. prepolovim krug, a zatim to sto sam dobio pomnozim sa [inlmath]2[/inlmath]. Ali ako stavim granicu [inlmath]0<\theta<\pi[/inlmath] citav integral sto dobijem koji zavisi od sinusa se izjednacava sa nulom i dobijem drugaciji rezultat.
Poslednja formula koju dobijem izgleda ovako:
[dispmath]\int\mathrm d\phi\cdot\left(-\sin^2\theta\cdot\cos\theta+\frac{2\cdot\sin^3\theta}{3}\right)\cdot\frac{a^5}{5}[/dispmath] gdje je [inlmath]0<\theta<\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]0<\phi<\pi[/inlmath] za prvi nacin i [inlmath]0<\theta<\pi[/inlmath] i [inlmath]0<\phi<2\cdot\pi[/inlmath] za drugi nacin
Vazno je napomenut da sam ja koristio drugacije sferne koordintate od onih na vasem sajtu tj.
[dispmath]z=r\cdot\cos\theta;\quad x=r\cdot\cos\phi\cdot\sin\theta;\quad y=r\cdot\sin\phi\cdot\sin\theta[/dispmath] Vjerujem da je problem do ugla [inlmath]\theta[/inlmath] i da postoje neka ogranicenja dokle taj ugao moze ici, da li to sto je sinus pozitivna funkcija na intervalu [inlmath]0<\theta<\pi[/inlmath] ima takav uticaj da kada stavimo te granice na suprotne krajeve integrala da se oni pokrate?