od Daniel » Petak, 10. Februar 2017, 23:57
Pa, da. Nije od značaja jesu li funkcije svaka za sebe nenegativne ili ne, već je od značaja kakvog je znaka njihova razlika.
Zapravo, formula koja si naveo, u svom univerzalnijem obliku glasi [inlmath]\int\limits_a^b\bigl|f(x)-g(x)\bigr|\,\mathrm dx[/inlmath].
Pošto su funkcije [inlmath]f_1(x)=2\cdot x-x^2[/inlmath] i [inlmath]f_2(x)=-x[/inlmath] neprekidne i nemaju presečnih tačaka između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], to zaključujemo da na segmentu [inlmath](0,3)[/inlmath] njihova razlika uvek mora biti istog predznaka.
A pošto na celom tom intervalu prva funkcija [inlmath]f_1(x)[/inlmath] ima veću vrednost od [inlmath]f_2(x)[/inlmath], to će razlika [inlmath]f_1(x)-f_2(x)[/inlmath] uvek biti pozitivna, pa se možemo osloboditi apsolutne vrednosti.
Međutim, da je trebalo npr. naći površinu koju zaklapaju [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath]-osa na intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath], tada bi se integral morao razložiti na dva integrala, jedan od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi[/inlmath] i drugi od [inlmath]\pi[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath]. U prvom integralu bi izraz unutar apsolutnih zagrada bio pozitivan pa bismo se apsolutnih zagrada mogli osloboditi, dok bi u drugom integralu izraz unutar apsolutnih zagrada bio negativan, tako da apsolutne zagrade uklanjamo i dodajemo minus ispred integrala.
Ako ne bismo tako radili, tj. ako ne bismo koristili apsolutnu vrednost, dobili bismo pogrešan rezultat da je površina između sinusne funkcija i [inlmath]x[/inlmath]-ose na intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath] jednaka nuli, jer bi se poništile prva i druga površina.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain