Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Izračunavanje površine pomoću integrala

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Izračunavanje površine pomoću integrala

Postod Gogele » Petak, 10. Februar 2017, 11:47

Date su dve funkcije, [inlmath]f_1(x)=2\cdot x-x^2[/inlmath] i [inlmath]f_2(x)=-x[/inlmath]. Ja sam našao da je površina figure ograničene sa ove dve funkcije jednaka [inlmath]\frac{13}{6}[/inlmath], dok na drugom mestu piše da je ta površina [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath].

Dobio sam sledeće:
Date funkcije se seku za [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=3[/inlmath]. Za [inlmath]x\in[0,1][/inlmath] je [inlmath]f_1(x)\ge-f_2(x)\ge0[/inlmath], za [inlmath]x\in[1,2][/inlmath] je [inlmath]-f_2(x)\ge f_1(x)\ge0[/inlmath] i za [inlmath]x\in[2,3][/inlmath] je [inlmath]-f_2(x)\ge-f_1(x)\ge0[/inlmath]. Dakle površina je zbir tri određena integrala:
[dispmath]\int\limits_0^1\left(2x-x^2-x\right)\mathrm dx+\int\limits_1^2\left(x-2x+x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_2^3\left(x+2x-x^2\right)\mathrm dx[/dispmath]
Možete li mi reći da li sam nešto prevideo i gde sam pogrešio?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izračunavanje površine pomoću integrala

Postod Gogele » Petak, 10. Februar 2017, 12:18

Našao sam gde sam pogrešio. Ipak je površina [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath]. :locked:
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Izračunavanje površine pomoću integrala

Postod Daniel » Petak, 10. Februar 2017, 14:16

Jeste [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath]. Zašto ne bi časkom napisao, zbog drugih koji budu vežbali ovaj zadatak, u čemu je bila tvoja greška? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Izračunavanje površine pomoću integrala

Postod Gogele » Petak, 10. Februar 2017, 22:36

Zaboravio sam da formula [inlmath]\int\limits_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,\mathrm dx[/inlmath] važi i kada jedna ili obe funkcije nisu nenegativne na datom segmentu. Zato sam krenuo da po segmentima tražim kada je koja funkcija nenegativna i veća ili jednaka od one druge i naravno dobio pogrešnu figuru. Kada se pogledaju grafici funkcija [inlmath]2x-x^2[/inlmath] i [inlmath]-x[/inlmath], vidi se da je prva stalno veća ili jednaka od druge (za [inlmath]x\in[0,3][/inlmath]), mada nisu stalno nenegativne, što se izbegava translacijom. Nadam se da sam dao dobro objašnjenje.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Izračunavanje površine pomoću integrala

Postod Daniel » Petak, 10. Februar 2017, 23:57

Pa, da. Nije od značaja jesu li funkcije svaka za sebe nenegativne ili ne, već je od značaja kakvog je znaka njihova razlika.
Zapravo, formula koja si naveo, u svom univerzalnijem obliku glasi [inlmath]\int\limits_a^b\bigl|f(x)-g(x)\bigr|\,\mathrm dx[/inlmath].
Pošto su funkcije [inlmath]f_1(x)=2\cdot x-x^2[/inlmath] i [inlmath]f_2(x)=-x[/inlmath] neprekidne i nemaju presečnih tačaka između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], to zaključujemo da na segmentu [inlmath](0,3)[/inlmath] njihova razlika uvek mora biti istog predznaka.
A pošto na celom tom intervalu prva funkcija [inlmath]f_1(x)[/inlmath] ima veću vrednost od [inlmath]f_2(x)[/inlmath], to će razlika [inlmath]f_1(x)-f_2(x)[/inlmath] uvek biti pozitivna, pa se možemo osloboditi apsolutne vrednosti.
Međutim, da je trebalo npr. naći površinu koju zaklapaju [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath]-osa na intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath], tada bi se integral morao razložiti na dva integrala, jedan od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi[/inlmath] i drugi od [inlmath]\pi[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath]. U prvom integralu bi izraz unutar apsolutnih zagrada bio pozitivan pa bismo se apsolutnih zagrada mogli osloboditi, dok bi u drugom integralu izraz unutar apsolutnih zagrada bio negativan, tako da apsolutne zagrade uklanjamo i dodajemo minus ispred integrala.
Ako ne bismo tako radili, tj. ako ne bismo koristili apsolutnu vrednost, dobili bismo pogrešan rezultat da je površina između sinusne funkcija i [inlmath]x[/inlmath]-ose na intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath] jednaka nuli, jer bi se poništile prva i druga površina.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 15:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs