Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Određivanje zapremine pomoću integrala

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Određivanje zapremine pomoću integrala

Postod Gogele » Sreda, 15. Februar 2017, 22:23

Zanima me da li sam dobro uradio sledeći zadatak:

Treba naći zapreminu tela dobijenog rotiranjem oko [inlmath]x[/inlmath]-ose, slike ograničene linijama [inlmath]y=\cos x+\cos2x[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath], [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]-osom.

Dobio sam da je:
[dispmath]y=2\cos\frac{x + 2x}{2}\cos\frac{x - 2x}{2}=2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}[/dispmath] Ako je [inlmath]y_1=\frac{3x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_1\in\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_1\ge0[/inlmath].
Ako je [inlmath]y_2=\frac{x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_2\in\Bigl[0,\frac{\pi}{6}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_2\ge0[/inlmath].
Odavde sledi da je [inlmath]y\ge0[/inlmath], za svako [inlmath]x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath].

Izračunavanje zapremine:
[dispmath]V=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}y^2\,\mathrm dx=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\left(\cos^2x+2\cos x\cos2x+\cos^22x\right)\mathrm dx=\\
=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\frac{1+\cos2x}{2}\,\mathrm dx+\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}(\cos3x+\cos x)\,\mathrm dx+\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\frac{1+\cos4x}{2}\,\mathrm dx[/dispmath] Koristio sam jednačine za [inlmath]\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i jednačine za zbir i proizvod kosinusa dva ugla. Koristio sam i smene u integraciji, [inlmath]t=2x,\;s=4x,\;r=6x[/inlmath].

Na kraju sam dobio da je zapremina jednaka [inlmath]\frac{\pi^2}{2}+\frac{9\pi\sqrt3}{16}[/inlmath], dok u rešenju za zadatak stoji da je [inlmath]\frac{\pi^2}{3}-\frac{9\pi\sqrt3}{16}[/inlmath]. Računao sam približno, koliko iznosi dato rešenje, jer mi se čini da je blizu nule, i dobio sam da je oko [inlmath]0,26[/inlmath], što mi se čini malo s obzirom na grafik funkcije. :think1:
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 18. Februar 2017, 13:15, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Određivanje zapremine pomoću integrala

Postod Daniel » Subota, 18. Februar 2017, 13:27

Gogele je napisao:slike ograničene linijama [inlmath]y=\cos x+\cos2x[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath], [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\color{red}y[/inlmath]-osom.

Valjda, [inlmath]x[/inlmath]-osom? [inlmath]y[/inlmath]-osa bi bila isto što i [inlmath]x=0[/inlmath], a to je već zadato.

Ceo postupak je u redu (izuzev krajnjeg rezultata), s tim što ne vidim potrebu za ovim delom:
Gogele je napisao:Dobio sam da je:
[dispmath]y=2\cos\frac{x + 2x}{2}\cos\frac{x - 2x}{2}=2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}[/dispmath] Ako je [inlmath]y_1=\frac{3x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_1\in\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_1\ge0[/inlmath].
Ako je [inlmath]y_2=\frac{x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_2\in\Bigl[0,\frac{\pi}{6}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_2\ge0[/inlmath].
Odavde sledi da je [inlmath]y\ge0[/inlmath], za svako [inlmath]x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath].

I delovi u kojima je funkcija pozitivna i delovi u kojima je funkcija negativna potpuno isto učestvuju u računanju zapremine tela dobijenog rotacijom. Zato ih nije potrebno razdvajati.

Što se tiče rezultata, nije tačan ni tvoj ni njihov rezultat. Kad se izračuna zbir poslednja tri integrala, treba da se dobije [inlmath]\frac{\pi^2}{3}+\frac{9\pi\sqrt3}{16}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 10:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs