Zanima me da li sam dobro uradio sledeći zadatak:
Treba naći zapreminu tela dobijenog rotiranjem oko [inlmath]x[/inlmath]-ose, slike ograničene linijama [inlmath]y=\cos x+\cos2x[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath], [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]-osom.
Dobio sam da je:
[dispmath]y=2\cos\frac{x + 2x}{2}\cos\frac{x - 2x}{2}=2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}[/dispmath] Ako je [inlmath]y_1=\frac{3x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_1\in\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_1\ge0[/inlmath].
Ako je [inlmath]y_2=\frac{x}{2}[/inlmath], tada [inlmath]y_2\in\Bigl[0,\frac{\pi}{6}\Bigr][/inlmath], pa je [inlmath]\cos y_2\ge0[/inlmath].
Odavde sledi da je [inlmath]y\ge0[/inlmath], za svako [inlmath]x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath].
Izračunavanje zapremine:
[dispmath]V=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}y^2\,\mathrm dx=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\left(\cos^2x+2\cos x\cos2x+\cos^22x\right)\mathrm dx=\\
=\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\frac{1+\cos2x}{2}\,\mathrm dx+\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}(\cos3x+\cos x)\,\mathrm dx+\pi\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\frac{1+\cos4x}{2}\,\mathrm dx[/dispmath] Koristio sam jednačine za [inlmath]\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i jednačine za zbir i proizvod kosinusa dva ugla. Koristio sam i smene u integraciji, [inlmath]t=2x,\;s=4x,\;r=6x[/inlmath].
Na kraju sam dobio da je zapremina jednaka [inlmath]\frac{\pi^2}{2}+\frac{9\pi\sqrt3}{16}[/inlmath], dok u rešenju za zadatak stoji da je [inlmath]\frac{\pi^2}{3}-\frac{9\pi\sqrt3}{16}[/inlmath]. Računao sam približno, koliko iznosi dato rešenje, jer mi se čini da je blizu nule, i dobio sam da je oko [inlmath]0,26[/inlmath], što mi se čini malo s obzirom na grafik funkcije.