Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Primer integracije racionalnih funkcija

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Primer integracije racionalnih funkcija

Postod Gogele » Četvrtak, 02. Mart 2017, 21:55

Imam problem da dokažem sledeću tvrdnju:

Integrali [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+ax+b)^n}[/inlmath] i [inlmath]\int\frac{x\,\mathrm dx}{(x^2+ax+b)^n}[/inlmath], [inlmath]n\ge1[/inlmath], [inlmath]a^2-4b<0[/inlmath], se smenom [inlmath]x=\frac{-a}{2}+t\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}[/inlmath] dovode na integrale oblika:
[dispmath](1)\,\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2},\,\quad(2)\,\int\frac{x\,\mathrm dx}{x^2+a^2},\,\quad(3)\,\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n},\,\quad(4)\,\int\frac{x\,\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}.[/dispmath]
Na osnovu ove smene dobije se da je [inlmath]\mathrm dx=\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}[/inlmath]. Kada se to uvrsti u prvi integral (onaj bez [inlmath]x[/inlmath] u brojiocu) dobije se
[dispmath]\frac{1}{\left(b-\frac{a^2}{4}\right)^{n-\frac{1}{2}}}\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1^2\right)^n},[/dispmath] što je, za [inlmath]n=1[/inlmath] integral [inlmath](1)[/inlmath], a za [inlmath]n>1[/inlmath] integral [inlmath](3)[/inlmath].

Za drugi integral sam dobio:
[dispmath]\int\frac{x\,\mathrm dx}{\left(x^2+ax+b\right)^n}=\int\frac{\left(\frac{-a}{2}+t\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}\right)\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}\,\mathrm dx}
{\left(\left(\frac{-a}{2}+t\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}\right)^2+a\left(\frac{-a}{2}+t\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}\right)+b\right)^n}=\\
=\int\frac{\biggl(t\left(b-\frac{a^2}{4}\right)-\frac{a}{2}\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}\biggr)\mathrm dx}{\left(b-\frac{a^2}{4}\right)^n\left(t^2+1^2\right)^n}.[/dispmath] Mislim da se vidi da sada dobijam razliku dva integrala, od kojih, umanjenik može da ima oblike [inlmath](2)[/inlmath] ili [inlmath](4)[/inlmath], dok umanjilac može da ima oblike [inlmath](1)[/inlmath] ili [inlmath](3)[/inlmath], u zavisnosti od [inlmath]n[/inlmath]. Pretpostavljam da ne treba da dobijem ovakvu razliku za ovaj integral, već samo integral oblika [inlmath](2)[/inlmath] ili [inlmath](4)[/inlmath]. Kako da to uradim?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Primer integracije racionalnih funkcija

Postod Trougao » Četvrtak, 02. Mart 2017, 22:54

Mnogo si ga zakomplikovao sa tom smenom. Ja bih to ovako:
[dispmath]\int\frac{\mathrm{d}x}{\left(x^2+ax+b\right)^n}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\left(x^2+ax-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+b\right)^n}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\left(\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+b-\frac{a^2}{4}\right)^n}=[/dispmath] I sada smenom [inlmath]t=x+\frac{a}{2}[/inlmath] i [inlmath]r=b-\frac{a^2}{4}\quad c=\sqrt{r}[/inlmath] je konstanta pa dobijemo:
[dispmath]\int\frac{\mathrm{d}t}{\left(t^2+c^2\right)^n}[/dispmath] i to je taj oblik.
Za drugi integral:
[dispmath]\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\left(x^2+ax+b\right)^n}=\frac{1}{2}\int\frac{2x\,\mathrm{d}x}{\left(x^2+ax+b\right)^n}=\frac{1}{2}\int\frac{2x+a-a}{\left(x^2+ax+b\right)^n}\,\mathrm{d}x=\\
=\frac{1}{2}\int\frac{2x+a}{\left(x^2+ax+b\right)^n}\,\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{a}{\left(x^2+ax+b\right)^n}\,\mathrm{d}x[/dispmath] Sada se ovaj prvi integral resava najobicnijom smenom [inlmath]t=x^2+ax+b[/inlmath] a ovaj drugi je kao ovaj gore samo sto je pomnozen konstanom i to je to.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Primer integracije racionalnih funkcija

Postod Gogele » Petak, 03. Mart 2017, 09:27

Trougao je napisao:Sada se ovaj prvi integral resava najobicnijom smenom [inlmath]t=x^2+ax+b[/inlmath] a ovaj drugi je kao ovaj gore samo sto je pomnozen konstanom i to je to.

Dakle, integral [inlmath]\int\frac{x\,\mathrm dx}{\left(x^2+ax+b\right)^n}[/inlmath] ne može da ima samo oblik [inlmath](2)[/inlmath] ili samo oblik [inlmath](4)[/inlmath], već mora biti razlika [inlmath](2)-(1)[/inlmath] ili razlika [inlmath](4)-(3)[/inlmath], u zavisnosti od [inlmath]n[/inlmath]?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +2

Re: Primer integracije racionalnih funkcija

Postod Trougao » Petak, 03. Mart 2017, 12:00

Moze da ima, na primer za [inlmath]a=0[/inlmath]. Pretpostavljam da citas knjigu Matematicka Analiza 1 od Dusana Adnadjevica i Zorana Kadelbruga posto je to sto si napisao bas kao iz knjige. Mislim da si previse bukvalno shvatio to sto pise da se integrali svode na oblik [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath] ja to tumacim vise kao integrali oblika [inlmath]\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\left(x^2+ax+b\right)^n}[/inlmath] se svode na neku kombinaciju integrala [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] (naravno pomnozenih raznim konstantama) koje znamo i mozemo lako da izracunamo.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 17. Februar 2020, 17:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs