Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Određeni integral. Provera rešenja

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Određeni integral. Provera rešenja

Postod Gogele » Nedelja, 12. Mart 2017, 18:44

Zanima me da li sam tačno našao koliko je [inlmath]\displaystyle\int\limits_{-1}^1\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(e^x+1\right)}[/inlmath]? Moje rešenje je sledeće:
[dispmath]\int\limits_{-1}^1\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(e^x+1\right)}=\left|u=\frac{1}{x^2+1},\;\mathrm du=\frac{-2x\,\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^2},\;\mathrm dv=\frac{\mathrm dx}{e^x+1},\;v=x-\ln\left(e^x+1\right)\right|=(*)\\
v=\int\frac{\mathrm dx}{e^x+1}=\left|t=e^x+1,\;\mathrm dt=e^x\,\mathrm dx\right|=\int\frac{\mathrm dt}{(t-1)t}=\int\left(\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t}\right)\mathrm dt=(**)[/dispmath] Nakon sređivanja zadnjeg izraza u [inlmath](**)[/inlmath], dobio sam da je [inlmath]A=1[/inlmath], [inlmath]B=-1[/inlmath], pa kada sam to uvrstio u [inlmath](**)[/inlmath] dobio sam da je [inlmath]v=x-\ln\left(e^x+1\right)[/inlmath]. Sada za [inlmath](*)[/inlmath] važi:
[dispmath]\left.\frac{x-\ln\left(e^x+1\right)}{1+x^2}\right|_{-1}^1-\int\limits_{-1}^1\frac{\bigl(x-\ln\left(e^x+1\right)\bigr)(-2x)\,\mathrm dx}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{1}{2}+\int\limits_{-1}^1\frac{2x^2-2x\ln\left(e^x+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\,\mathrm dx=\\
=\frac{1}{2}+\int\limits_{-1}^1\frac{x2x\,\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)^2}-\int\limits_{-1}^1\frac{2x\ln\left(e^x+1\right)\,\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)^2}=\left|t=x^2+1,\;\mathrm dt=2x\,\mathrm dx,\;t(-1)=2,\;t(1)=2\right|=\\
=\frac{1}{2}+\int\limits_2^2\frac{\sqrt{t-1}\,\mathrm dt}{t}-\int\limits_2^2\frac{\ln\left(e^{\sqrt{t-1}}+1\right)\mathrm dt}{t^2}=\frac{1}{2}+0-0=\frac{1}{2}.[/dispmath]
Mislim da sam tačno uradio, ali, nažalost, nisam siguran.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Određeni integral. Provera rešenja

Postod Onomatopeja » Nedelja, 12. Mart 2017, 20:11

Nisam gledao do kraja tvoj racun, no on svakako nije dobar. Ne vazi, na primer, da je [inlmath]\displaystyle\int_{-1}^1\frac{2x^2}{(x^2+1)^2}dx=0[/inlmath] (moze se proveriti da je ovaj integral jednak [inlmath]\frac{\pi-2}{2}[/inlmath], a i strogo pozitivna funkcija (osim u jednoj tacki) ne moze svakako imati povrsinu nula). Naime, problem (ako pretpostavimo da je pre toga sve bilo korektno, nisam gledao) je u delu kada koristis smenu [inlmath]t=x^2+1[/inlmath], jer funkcija [inlmath]x^2+1[/inlmath] nije monotona na [inlmath][-1,1][/inlmath]. Ovde bi prvo morao da razdvojis integral, tj. segment [inlmath][-1,1][/inlmath], na delove na kojima imamo trazenu monotonost (no cini mi se da kako god okrenemo da necemo na ovaj tvoj nacin lako doci do samog resenja). Napomenuo bih samo da monotonost funkcije nije neophodna da bismo vrsili smenu promenljive kod odredjenog integrala, no jeste dovoljan uslov sa kojim najcesce i radimo (o svemu tome bilo je i price u ovoj temi).

Umesto toga, zadatku se moze drugacije pristupiti. Naime, ako bismo prvo uveli smenu [inlmath]x=-t[/inlmath], a potom ponovo sabrali sa pocetnim integralom, primetili bismo da se desilo nesto magicno. Odatle je posle lako.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Određeni integral. Provera rešenja

Postod Trougao » Nedelja, 12. Mart 2017, 22:49

Ovaj integral definitivno nije elementarna funkcija. Ideja je
primenimo parcijalnu [inlmath]u=\frac{1}{e^x+1}\enspace\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}[/inlmath] pa dobijemo
[dispmath]\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{\left(x^2+1\right)\left(e^x+1\right)}=\frac{\text{arctg }x}{e^x+1}\Bigg|_{-1}^1-\int_{-1}^1\frac{e^x\text{arctg }x}{\left(e^x+1\right)^2}\,\mathrm{d}x[/dispmath] I sada je ovaj prvi deo jednak [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] a ovaj drugi deo je neparna funkcija pa je jednak [inlmath]0[/inlmath].
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 107 puta

Re: Određeni integral. Provera rešenja

Postod Daniel » Ponedeljak, 13. Mart 2017, 00:30

Onomatopeja je napisao:Naime, ako bismo prvo uveli smenu [inlmath]x=-t[/inlmath], a potom ponovo sabrali sa pocetnim integralom, primetili bismo da se desilo nesto magicno. Odatle je posle lako.

Svaka čast, kako li se samo seti ovoga? :clap:

@Gogele, iako se na kraju ispostavilo da ti integral [inlmath]\displaystyle v=\int\frac{\mathrm dx}{e^x+1}[/inlmath] nije ni potreban u ovom zadatku, čisto da napomenem da se on može i lakše izračunati. Umesto smene [inlmath]t=e^x+1[/inlmath], bolje je brojilac napisati kao [inlmath]e^x+1-e^x[/inlmath], tj. [inlmath]\displaystyle\int\frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}\,\mathrm dx[/inlmath] i onda to razdvojiš na razliku dva integrala...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Određeni integral. Provera rešenja

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 13. Mart 2017, 07:07

@Daniel: Ta smena je potekla iz smene za opstu situaciju [inlmath]\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^bf(a+b-x)\,dx[/inlmath], sto se ovde pokazalo kao korisna stvar. Nisam znao unapred, samo sam probao i desila se magija.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Određeni integral. Provera rešenja

Postod Gogele » Sreda, 22. Mart 2017, 09:51

Hvala!
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 15:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs