Pozdrav ljudi.
Imam jedan integral koji me pomalo muci. Kaze:
[dispmath]I=\int\frac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}\,\mathrm{d}x[/dispmath]
E sad, krenem ja to klasicno - uvodjenjem smene [inlmath]\text{tg }\frac{x}{2}=t[/inlmath], i dobijem sledece:
[dispmath]I=4\int\frac{t^2}{\left(1+t^2\right)^2\left(1+t-t^2\right)}\,\mathrm{d}t[/dispmath] Dalje to resavam kao integral racionalne funkcije, rastavljam na parcijalne razlomke i dobijam sledece:
[dispmath]I=4\int\frac{-\frac{3}{4}t+\frac{1}{4}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t+4\int\frac{\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t+4\int\frac{\frac{3}{4}t+\frac{1}{2}}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t[/dispmath] odnosno:
[dispmath]\underbrace{I=-\int\frac{3t-1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t+\int\frac{2t-3}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t+\int\frac{3t+2}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t}_{\displaystyle I=I_1+I_2+I_3}[/dispmath]
E sad, prvi i drugi integral su okej. Dobijam resenja:
[dispmath]I_1=-\int\frac{3t-1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t=-\frac{3}{2}\ln\left(1+t^2\right)+\text{arctg }t+c_1[/dispmath][dispmath]I_2=\int\frac{2t-3}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t=\ln\left(1+t^2\right)-\frac{3t}{2\left(1+t^2\right)}-\frac{3}{2}\text{arctg }t+c_2[/dispmath]
Medjutim, treci je problem. Krenem ja to da razbijem na dva integrala:
[dispmath]I_3=\int\frac{3t+2}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t=3\int\frac{t}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t+2\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t-t^2}[/dispmath] ali ovo je poprilicno ruzno, ako nastavlja da se reseva (i preko parcijalnih razlomaka, i kanonicki oblik trinoma itd.).
E sad, zanima me da li gde gresim i da li je ovo moglo elegantnije? Hvala.
Resenje koje se nudi u zbirci (Matematicka analiza - Teorija i hiljadu zadataka, Milan Merkle, drugo izdanje, 2008.) je:
[dispmath]I=-\frac{1}{5}\left(2\sin x+\cos x\right)+\frac{4}{5\sqrt5}\ln\left|\text{tg}\left(\text{tg }\frac{x}{2}+\frac{\text{arctg }2}{2}\right)\right|+C[/dispmath] a resenje koje izbacuje Wolfram je:
[dispmath]I=\frac{1}{25}\left(-5\left(2\sin x+\cos x\right)-8\sqrt5\tanh^{-1}\left(\frac{1-2\text{ tg }\frac{x}{2}}{\sqrt5}\right)\right)+\text{constant}[/dispmath] Napomena: [inlmath]\tanh^{-1}x[/inlmath] je inverzna funkcija funkcije hiperbolicki tangens ([inlmath]\tanh x[/inlmath]).