Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Integral trigonometrijske funkcije

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Integral trigonometrijske funkcije

Postod Ilija » Sreda, 22. Mart 2017, 00:30

Pozdrav ljudi. :D
Imam jedan integral koji me pomalo muci. Kaze:
[dispmath]I=\int\frac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}\,\mathrm{d}x[/dispmath]
E sad, krenem ja to klasicno - uvodjenjem smene [inlmath]\text{tg }\frac{x}{2}=t[/inlmath], i dobijem sledece:
[dispmath]I=4\int\frac{t^2}{\left(1+t^2\right)^2\left(1+t-t^2\right)}\,\mathrm{d}t[/dispmath] Dalje to resavam kao integral racionalne funkcije, rastavljam na parcijalne razlomke i dobijam sledece:
[dispmath]I=4\int\frac{-\frac{3}{4}t+\frac{1}{4}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t+4\int\frac{\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t+4\int\frac{\frac{3}{4}t+\frac{1}{2}}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t[/dispmath] odnosno:
[dispmath]\underbrace{I=-\int\frac{3t-1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t+\int\frac{2t-3}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t+\int\frac{3t+2}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t}_{\displaystyle I=I_1+I_2+I_3}[/dispmath]
E sad, prvi i drugi integral su okej. Dobijam resenja:
[dispmath]I_1=-\int\frac{3t-1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t=-\frac{3}{2}\ln\left(1+t^2\right)+\text{arctg }t+c_1[/dispmath][dispmath]I_2=\int\frac{2t-3}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t=\ln\left(1+t^2\right)-\frac{3t}{2\left(1+t^2\right)}-\frac{3}{2}\text{arctg }t+c_2[/dispmath]
Medjutim, treci je problem. Krenem ja to da razbijem na dva integrala:
[dispmath]I_3=\int\frac{3t+2}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t=3\int\frac{t}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t+2\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t-t^2}[/dispmath] ali ovo je poprilicno ruzno, ako nastavlja da se reseva (i preko parcijalnih razlomaka, i kanonicki oblik trinoma itd.).

E sad, zanima me da li gde gresim i da li je ovo moglo elegantnije? Hvala. :D



Resenje koje se nudi u zbirci (Matematicka analiza - Teorija i hiljadu zadataka, Milan Merkle, drugo izdanje, 2008.) je:
[dispmath]I=-\frac{1}{5}\left(2\sin x+\cos x\right)+\frac{4}{5\sqrt5}\ln\left|\text{tg}\left(\text{tg }\frac{x}{2}+\frac{\text{arctg }2}{2}\right)\right|+C[/dispmath] a resenje koje izbacuje Wolfram je:
[dispmath]I=\frac{1}{25}\left(-5\left(2\sin x+\cos x\right)-8\sqrt5\tanh^{-1}\left(\frac{1-2\text{ tg }\frac{x}{2}}{\sqrt5}\right)\right)+\text{constant}[/dispmath] Napomena: [inlmath]\tanh^{-1}x[/inlmath] je inverzna funkcija funkcije hiperbolicki tangens ([inlmath]\tanh x[/inlmath]).
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Integral trigonometrijske funkcije

Postod Daniel » Sreda, 22. Mart 2017, 14:03

Pozdrav. :)

Ilija je napisao:[dispmath]I=4\int\frac{t^2}{\left(1+t^2\right)^2\left(1+t-t^2\right)}\,\mathrm{d}t[/dispmath] Dalje to resavam kao integral racionalne funkcije, rastavljam na parcijalne razlomke i dobijam sledece:
[dispmath]I=4\int\frac{-\frac{3}{4}t+\frac{1}{4}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t+4\int\frac{\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t+4\int\frac{\frac{3}{4}t+\frac{1}{2}}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t[/dispmath]

Nije dobro ovo rastavljanje. Treba krenuti od jednačine
[dispmath]\frac{t^2}{\left(1+t^2\right)^2\left(1+t-t^2\right)}=\frac{At+B}{1+t^2}+\frac{Ct+D}{\left(1+t^2\right)^2}+\frac{Et+F}{1+t-t^2}[/dispmath] iz koje na kraju treba da se dobije
[dispmath]I=4\int\frac{t^2}{\left(1+t^2\right)^2\left(1+t-t^2\right)}\,\mathrm{d}t=\frac{4}{5}\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}+\frac{4}{5}\int\frac{t-2}{\left(t^2+1\right)^2}\,\mathrm dt+\frac{4}{5}\int\frac{\mathrm dt}{1+t-t^2}[/dispmath] Samim tim, ni sledeći integral,
Ilija je napisao:[dispmath]I_2=\int\frac{2t-3}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t=\ln\left(1+t^2\right)-\frac{3t}{2\left(1+t^2\right)}-\frac{3}{2}\text{arctg }t+c_2[/dispmath]

neće biti aktuelan, al' čisto da napomenem da njegovo rešenje nije tačno. Trebalo je da se dobije
[dispmath]\int\frac{2t-3}{\left(1+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t=-\frac{1}{2}\cdot\frac{3t+2}{t^2+1}-\frac{3}{2}\text{arctg }t+c[/dispmath]
Ilija je napisao:Medjutim, treci je problem. Krenem ja to da razbijem na dva integrala:
[dispmath]I_3=\int\frac{3t+2}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t=3\int\frac{t}{1+t-t^2}\,\mathrm{d}t+2\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t-t^2}[/dispmath] ali ovo je poprilicno ruzno, ako nastavlja da se reseva (i preko parcijalnih razlomaka, i kanonicki oblik trinoma itd.).

Nakon one ispravke s parcijalnim razlomcima, treći integral će biti donekle jednostavniji (sadržaće samo drugi od navedena dva sabirka). Njega takođe razdvojiš na parcijalne razlomke, jer kvadratni trinom u imeniocu ima realne nule (ne baš lepe, doduše).

Ilija je napisao:E sad, zanima me da li gde gresim i da li je ovo moglo elegantnije? Hvala. :D

S obzirom na rešenje koje je napisano u zbirci, a koje nije ni najmanje elegantno, :) teško bi se moglo očekivati da će se do istog doći na neki elegantan način. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Integral trigonometrijske funkcije

Postod mala_mu » Sreda, 22. Mart 2017, 15:37

Pozdrav i od mene :D
Za početak mogli smo transformisati naš integral kao
[dispmath]I=\int\frac{\sin x}{2\frac{\cos x}{\sin x}+1}\,\mathrm dx[/dispmath] Uvedemo smjenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath], tada je naš integral jednak
[dispmath]I=-\int\frac{1}{\frac{2t}{\sqrt{1-t^2}}+1}\,\mathrm dt[/dispmath] Nakon sređivanja dobijamo
[dispmath]I=-\int\frac{2t\sqrt{1-t^2}+t^2-1}{5t^2-1}\,\mathrm dt[/dispmath] Razdvojimo na dva integrala
[dispmath]I_1=-2\int\frac{t\sqrt{1-t^2}}{5t^2-1}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]I_2=-\int\frac{t^2-1}{5t^2-1}\,\mathrm dt=-\int\left(\frac{1}{5}-\frac{4}{5}\frac{1}{5t^2-1}\right)\mathrm dt[/dispmath] Integral [inlmath]I_2[/inlmath] se dalje lako izračunava
Za integral [inlmath]\int\frac{t\sqrt{1-t^2}}{5t^2-1}\,\mathrm dt[/inlmath] uvedemo smjenu [inlmath]\sqrt{1-t^2}=u[/inlmath] tada je [inlmath]\frac{-t\,\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}=\mathrm du[/inlmath]
Zatim se dobije
[dispmath]\int\frac{u^2}{5u^2-4}\,\mathrm du=\int\frac{\frac{1}{5}\left(5u^2-4\right)+\frac{4}{5}}{5u^2-4}\,\mathrm du=\frac{u}{5}+\frac{4}{25}\int\frac{1}{u^2-\frac{4}{5}}\,\mathrm du[/dispmath] Za one koji ne vole parcijalne razlomke :D
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 19:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs