Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Površina figure. Provera rešenja

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Površina figure. Provera rešenja

Postod Gogele » Ponedeljak, 17. April 2017, 15:41

Da li sam dobio tačno rešenje sledećeg zadatka:

Odrediti površinu ograničenu sa [inlmath]y=\sin x[/inlmath], [inlmath]y=\cos\frac{x}{2}[/inlmath], [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\pi[/inlmath].

Moje rešenje:

Pošto [inlmath]x\in[0,\pi][/inlmath], sledi da je [inlmath]\sin x\ge0[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{x}{2}\ge0[/inlmath] (jer [inlmath]\frac{x}{2}\in\Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath]). Treba odrediti zajedničke tačke ovih funkcija. Imamo da je:
[dispmath]\sin x=\cos\frac{x}{2}\iff\sin x-\cos\frac{x}{2}=0\iff2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0\iff\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)=0.[/dispmath] Sada iz [inlmath]\cos\frac{x}{2}=0[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]x=\pi[/inlmath], a iz [inlmath]2\sin\frac{x}{2}-1=0[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath].
Za [inlmath]x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{3}\Bigr][/inlmath], dobijamo da je izraz [inlmath]\sin x-\cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)\le0[/inlmath], pa je u ovom slučaju [inlmath]\cos\frac{x}{2}\ge\sin x[/inlmath].
Za [inlmath]x\in\Bigl[\frac{\pi}{3},\pi\Bigr][/inlmath], dobijamo da je izraz [inlmath]\sin x-\cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2}\left(2\sin\frac{x}{2}-1\right)\ge0[/inlmath], pa je u ovom slučaju [inlmath]\sin x\ge\cos\frac{x}{2}[/inlmath].
Odavde dobijamo da je površina tražene figure jednaka:
[dispmath]P=\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\left(\cos\frac{x}{2}-\sin x\right)\mathrm dx+\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\left(\sin x-\cos\frac{x}{2}\right)\mathrm dx=\\
=\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\cos\frac{x}{2}\,\mathrm dx-\int\limits_0^\frac{\pi}{3}\sin x\,\mathrm dx+\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\sin x\,\mathrm dx-\int\limits_\frac{\pi}{3}^\pi\cos\frac{x}{2}\,\mathrm dx=\cdots=2\sqrt3+1.[/dispmath] Integrale sa kosinusom rešavamo pomoću smene [inlmath]t=\frac{x}{2},\;\mathrm dt=\frac{\mathrm dx}{2}[/inlmath], da ne bude zabune.
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 17. April 2017, 17:02, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Površina figure. Provera rešenja

Postod Gogele » Ponedeljak, 17. April 2017, 16:03

Zaboravio sam da stavim nove granice prilikom smene. Granice treba da budu [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], i [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Sada se dobije da je površina jednaka [inlmath]1[/inlmath]. U prvom postu sam dobio da mi je površina veća od [inlmath]\pi[/inlmath], što nije moguće (grafici se nalace u pravougaoniku dimenzija [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]). Mislim da sam sada dobio tačno rešenje.

P.S. Ima i greška u Latehu, kod pisanja kvadratnog korena. :D
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +2

Re: Površina figure. Provera rešenja

Postod Corba248 » Ponedeljak, 17. April 2017, 16:34

Treba da se dobije [inlmath]1[/inlmath]. :thumbup:
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs