od Daniel » Subota, 20. Maj 2017, 11:52
Ovako kako je zadato, potrebno je dokazati nejednakost za svako prirodno [inlmath]n[/inlmath], budući da nigde nije napisan limes. [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)[/inlmath] predstavlja Rimanovu sumu koja, kako si i sâm zaključio, teži integralu [inlmath]\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\,\mathrm dx[/inlmath] onda kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath]. Samim tim, izraz [inlmath]\displaystyle\Delta_n=\int\limits_0^1f(x)\,\mathrm dx-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)[/inlmath] predstavljaće neko odstupanje, tj. grešku koju bismo pravili ako bismo integral računali preko Rimanove sume za proizvoljno odabran prirodan broj [inlmath]n[/inlmath], pri ćemu će to odstupanje biti utoliko manje ukoliko je [inlmath]n[/inlmath] veće (tj. podela sitnija), dok će za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] to odstupanje težiti nuli.
Kako ja tumačim ovaj zadatak, nije moguć slučaj [inlmath]M=+\infty[/inlmath], jer tada funkcija ne bi bila definisana u [inlmath]\xi[/inlmath], pa ne bi imalo smisla govoriti o [inlmath]f(\xi)[/inlmath], jer [inlmath]\xi[/inlmath] ne bi pripadalo domenu te funkcije. A budući da je u zadatku navedeno da je [inlmath]M=f(\xi)[/inlmath], to znači da funkcija u [inlmath]\xi[/inlmath] ipak jeste definisana.
Jedna druga stvar mene ovde buni. Ako bismo uzeli npr. funkciju [inlmath]f(x)=-x^2+x-1[/inlmath], koja ispunjava uslove ovog zadatka – na intervalu [inlmath]\displaystyle\left[0,\frac{1}{2}\right][/inlmath] je rastuća, na intervalu [inlmath]\displaystyle\left[\frac{1}{2},1\right][/inlmath] je opadajuća, [inlmath]\displaystyle\xi=\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle M=f(\xi)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}[/inlmath], [inlmath]f(0)=f(1)=-1[/inlmath], uvrštavanjem u nejednakost koju je potrebno dokazati dobili bismo:
[dispmath]\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)-(-1)}{n}\le\Delta_n\le\frac{-\frac{3}{4}-(-1)}{n}\\
\frac{\frac{7}{4}}{n}\le\Delta_n\le\frac{\frac{1}{4}}{n}[/dispmath] tj. dobili bismo da je [inlmath]\displaystyle\frac{7}{4}\le\frac{1}{4}[/inlmath], što je kontradikcija, a to bi značilo da funkcija [inlmath]f(x)=-x^2+x-1[/inlmath] predstavlja kontraprimer, tj. da zadata nejednakost za ovako postavljene uslove ne mora uvek biti tačna.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain