Stranica 1 od 1

Neodredjeni integral

PostPoslato: Nedelja, 09. Jul 2017, 21:48
od Batonja
Kako se ovih dana zlopatim i sa integralima pored diferencijalnih jednacina red je da postavim jedan zadatak:
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}[/dispmath] smena
[dispmath]\sqrt[3]{x^4+1}=t[/dispmath][dispmath]x^4+1=t^3[/dispmath][dispmath]4x^3=3t^2[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+t}\cdot\frac{3t^2}{4x^3}[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{t^2+1-1}{1+t}[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{t^2}{2}-t+\text{arctg}\sqrt{t}\right)[/dispmath] Moje pitanje je da li gresim negde i da li ovo moze ovako da se radi kada unesem da proverim u integral calculator dobijem dosta komplinkovan izraz sa [inlmath]\ln[/inlmath]-om.

Re: Neodredjeni integral

PostPoslato: Nedelja, 09. Jul 2017, 22:14
od Daniel
Integral nikako ne sme ovako da se piše:
Batonja je napisao:[dispmath]\int\frac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}[/dispmath]

Mora da sadrži [inlmath]\mathrm dx[/inlmath], u protivnom je besmislen.

Takođe,
Batonja je napisao:[dispmath]x^4+1=t^3[/dispmath][dispmath]4x^3=3t^2[/dispmath]

iz prve jednakosti nikako ne sledi ova druga jednakost. Druga jednakost bi bila OK kad bi glasila [inlmath]4x^3\,{\color{red}\mathrm dx}=3t^2\,{\color{red}\mathrm dt}[/inlmath], ali bez tih diferencijala je skroz netačna.

Možeš li ove izraze, integrale i jednakosti napisati kako treba, budući da je ovako skroz nepregledno i zbunjujuće? Pa ćemo nakon toga videti da l' ima neke greške.

Re: Neodredjeni integral

PostPoslato: Ponedeljak, 10. Jul 2017, 20:49
od Batonja
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}\,\mathrm dx[/dispmath] smena
[dispmath]\sqrt[3]{x^4+1}\,\mathrm dx=t\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\left(x^4+1\right)\mathrm dx=\left(t^3\right)\mathrm dt[/dispmath][dispmath]4x^3\mathrm dx=3t^2\mathrm dt[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+t}\cdot\frac{3t^2}{4x^3}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{t^2+1-1}{1+t}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{t^2}{2}-t+\text{arctg}\sqrt{t}\right)[/dispmath]
Dodato samo me zezaju ove velike zagrade pa nisam uspeo da se izborim sa \left i \right ali se dt odnosi anana sve pod integralom :D

Re: Neodredjeni integral

PostPoslato: Ponedeljak, 10. Jul 2017, 22:46
od Corba248
Batonja je napisao:smena
[dispmath]\sqrt[3]{x^4+1}\,{\color{red}\mathrm dx}=t\,{\color{red}\mathrm dt}[/dispmath][dispmath]\left(x^4+1\right){\color{red}\mathrm dx}=\left(t^3\right){\color{red}\mathrm dt}[/dispmath][dispmath]4x^3\mathrm dx=3t^2\mathrm dt[/dispmath]

Ovo nema smisla. Crveno obeleženo je višak. Tek kada nađeš izvod obe strane imaš [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dt[/inlmath].

Greška ti je u sledećem:
[dispmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm dt\ne\arctan\sqrt t+C[/dispmath][dispmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm dt=\ln|1+t|+C[/dispmath]

Re: Neodredjeni integral

PostPoslato: Utorak, 11. Jul 2017, 00:39
od Daniel
Batonja je napisao:Dodato samo me zezaju ove velike zagrade pa nisam uspeo da se izborim sa \left i \right ali se dt odnosi anana sve pod integralom :D

Pretpostavljam da misliš na ovaj korak:
Batonja je napisao:[dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}\,\mathrm dt[/dispmath]

Pravilno napisan, glasio bi
[dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\left(\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}\right)\mathrm dt[/dispmath] a Latex-kod bi bio
Kôd: Obeleži sve
\frac{3}{4}\cdot\int\left(\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}\right)\mathrm dt

Znači, nikakva mudrolija – samo se nakon [inlmath]\int[/inlmath] stavi \left( a pre [inlmath]\mathrm dt[/inlmath] se stavi \right).



Što se tiče greške u računanju integrala, da je integral kojim slučajem glasio [inlmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm d\left({\color{red}\sqrt t}\right)[/inlmath], e to bi bilo jednako [inlmath]\text{arctg}\sqrt t+C[/inlmath]. Ali, pošto ne glasi [inlmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm d\left({\color{red}\sqrt t}\right)[/inlmath] već glasi [inlmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm d{\color{red}t}[/inlmath], to je onda jednako [inlmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm d(1+t)=\ln|1+t|+C[/inlmath], kô što Corba248 i napisa.

Vidim i da nisi baš upoznat sa suštinom diferencijala, s obzirom na greške koje si napravio, a na koje ti je Corba248 ukazao. Preporučujem ti da to dobro proučiš, jer ti je to osnova i za integrale i uopšte za diferencijalni račun.

Re: Neodredjeni integral

PostPoslato: Četvrtak, 31. Avgust 2017, 18:31
od miros
Pozdrav. Da ne otvaram novu temu, može li pomoć oko rješavanja neodređenog integrala?
[dispmath]\int\frac{x^2-5}{x^2-4}\,\mathrm dx=\int\frac{x^2-4-1}{x^2-4}\,\mathrm dx=\int\mathrm dx-\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx=x-\int\frac{1}{-4+x^2}\,\mathrm dx[/dispmath] Pokušao sam na ovaj način svesti na tablični integral, ali nisam siguran jesam li na dobrom putu. Može li me netko uputiti kako dalje nastaviti ili uputiti kako započeti rješavati ako početak nije točan? Koristio sam i online kalkulator za integrale, ali rješenje mi ne izgleda kao neko dobiveno svođenjem na tablični integral. Profesori nam nisu preporučili korištenje online kalkulatora (jer ih malo izvede postupak razumno), jedino za provjeru točnosti rješenja. Je li potrebno koristiti neku drugu metodu za rješavanje ovog zadatka (metoda supstitucije)?

Re: Neodredjeni integral

PostPoslato: Četvrtak, 31. Avgust 2017, 19:30
od Igor
Ovde je sporan integral [inlmath]\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx[/inlmath] i on se može rešiti metodom neodređenih koeficijenata.
[dispmath]\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{(x-2)\cdot(x+2)}\,\mathrm dx=\int\frac{A}{x-2}\,\mathrm dx+\int\frac{B}{x+2}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}=\frac{1}{(x-2)\cdot(x+2)}[/dispmath][dispmath]x\cdot A+2\cdot A+x\cdot B-2\cdot B=1[/dispmath][dispmath](A+B)\cdot x+2\cdot(A-B)=1[/dispmath] Odavde je [inlmath]A+B=0[/inlmath], a [inlmath]2\cdot(A-B)=1[/inlmath]. Rešavanjem ovog sistema dobija se: [inlmath]A=\frac{1}{4}[/inlmath] i [inlmath]B=-\frac{1}{4}[/inlmath].
Vraćanjem u polazni integral imamo:
[dispmath]\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx=\int\frac{A}{x-2}\,\mathrm dx+\int\frac{B}{x+2}\,\mathrm dx=\int\frac{\frac{1}{4}}{x-2}\,\mathrm dx+\int\frac{-\frac{1}{4}}{x+2}\,\mathrm dx[/dispmath] Dalje rešavanje ne predstavlja problem... Ja dobijam kao konačno rešenje (za integral [inlmath]\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx[/inlmath], ne za ceo zadatak!): [inlmath]\Large\enclose{box}{\ln\frac{(x-2)^{\frac{1}{4}}\cdot C}{(x+2)^{\frac{1}{4}}}}[/inlmath].

Nadam se da sam pomogao. Ako ti nešto nije jasno, slobodno pitaj.

Re: Neodredjeni integral

PostPoslato: Četvrtak, 31. Avgust 2017, 23:17
od Daniel
Samo mala korekcija za krajnji izraz – umesto oblih treba da stoje apsolutne zagrade (jer je [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln|x|+c[/inlmath]).
Dakle, [inlmath]\Large\enclose{box}{\ln\frac{|x-2|^{\frac{1}{4}}\cdot C}{|x+2|^{\frac{1}{4}}}}[/inlmath]

Re: Neodredjeni integral

PostPoslato: Petak, 01. Septembar 2017, 08:19
od bobanex
[dispmath]\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{4}\frac{x+2-\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)[/dispmath] U jednostavnijim slučajevima može se izbeći upotreba metode neodređenih koeficijenata.