Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Trigonometrijski integral.

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Trigonometrijski integral.

Postod Subject » Ponedeljak, 30. Oktobar 2017, 18:53

Neka je:
[dispmath]\int\frac{1}{\cos^5x-\sin^5x}\,\mathrm dx[/dispmath] Sada je:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(\cos^4x+\cos^3x\sin x+\cos^2x\sin^2x+\cos x\sin^3x+\sin^4x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Dalje:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Dalje:
[dispmath]\int\frac{1}{\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\bigl(1+\sin x\cos x(1-\sin x\cos x)\bigr)}\,\mathrm dx[/dispmath] Ne pada mi napamet koju smenu da iskoristim,niti dal moze nesto parcialno da se resi,a smenom
[dispmath]\tan\frac{x}{2}=t[/dispmath] ne verujem da cu nesto lakse da dobijem...Moze pomoc?
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Trigonometrijski integral.

Postod mala_mu » Utorak, 31. Oktobar 2017, 19:56

Pozdrav :D

Subject je napisao:[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]

Mislim da je ovdje greška, trebalo bi biti:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-2\cdot\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx=\\
=\int\frac{1}{(\sin x-\cos x)\left(2\cdot\sin^2x\cos^2x-\cos x\sin x-1\right)}\,\mathrm dx=I[/dispmath] Najprikladnije mi je ovdje uvesti smjenu [inlmath]\tan\frac{x}{2}=t[/inlmath], pa dobijaš
[dispmath]I=-2\int\frac{\left(t^2+1\right)^4}{\left(t^2+2t-1\right)\left(\left(t^2+1\right)^4-2\left(t\left(t^2-1\right)\left(t^2+1\right)^2+4t^2\left(t^2-1\right)^2\right)\right)}\,\mathrm dt=\\
=-2\int\frac{\left(t^2+1\right)^4}{\left(t^2-2t-1\right)^2\left(t^2+2t-1\right)\left(t^4+2t^3+2t^2-2t+1\right)}\,\mathrm dt[/dispmath] Sada ovo riješiš preko parcijalnih razlomaka. Ima dosta posla, ali uspije se riješiti. Ili možeš čak i metodom Ostrogradskog, mada nisam pokušala na taj način.
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

  • +2

Re: Trigonometrijski integral.

Postod Daniel » Sreda, 01. Novembar 2017, 01:17

mala_mu je napisao:
Subject je napisao:[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]

Mislim da je ovdje greška, trebalo bi biti:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-2\cdot\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx=\cdots[/dispmath]

Ne, dobro je tako kako je Subject napisao, ne treba ta dvojka ispred [inlmath]\sin^2x\cos^2x[/inlmath].

Doduše, Subject, u ovom koraku,
Subject je napisao:[dispmath]\int\frac{1}{\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\bigl(1+\sin x\cos x(1-\sin x\cos x)\bigr)}\,\mathrm dx[/dispmath]

fali ti minus ispred integrala. Mada ja i ne bih uradio taj korak, ostavio bih to kao [inlmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1-\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/inlmath] pa zatim primenio postupak koji je mala_mu predložila, čime bi se dobila solidna kobasica s kojom će biti posla da se oteliš, al' ni ja jednostavniji način ne vidim...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7778
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Trigonometrijski integral.

Postod Subject » Sreda, 01. Novembar 2017, 06:50

Uredu,mada moj cilj je bio da izbegnem tu "kobasicu",iako nije neki veliki problem da se resi ako dobijem nesto tipa:
[dispmath]\int\frac{At+B}{\left(t^2-2t-1\right)^2}\,\mathrm dx[/dispmath] ili
[dispmath]\int\frac{Ct+D}{t^2+2t-1}\,\mathrm dx[/dispmath] kao sto je mala_mu napisala.

Ali za
[dispmath]\int\frac{Et^3+Ft^2+Gt+H}{t^4+2t^3+2t^2-2t+1}\,\mathrm dx[/dispmath] ne verujem da funkcija u imeniocu ima neke celobrojne nule, pa da bih mogao da razlozim na jos neki "parcialni" integral. Ali dobro,hvala u svakom slucaju.
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

Re: Trigonometrijski integral.

Postod mala_mu » Sreda, 01. Novembar 2017, 08:26

Jeste, uporno sam zaboravljala dodati sabirak. Izvinjavam se na zabušavanju :D

Možeš pokušati dodati - oduzeti nešto, pa da dobiješ jednostavniji izraz...
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

  • +1

Re: Trigonometrijski integral.

Postod Subject » Četvrtak, 30. Novembar 2017, 20:43

Vracam se na kratko na ovaj integral.

Dakle dosao sam do:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1−\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]
Pomnozicu i podelicu sa: [inlmath](\cos x-\sin x)[/inlmath] pa dobijam:
[dispmath]\int\frac{\cos x-\sin x}{(\cos x-\sin x)^2\left(1−\frac{4}{4}\sin^2x\cos^2x+\frac{2}{2}\sin x\cos x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] i to je sad:
[dispmath]\int\frac{\cos x-\sin x}{(1-\sin2x)\left(1−\frac{\sin^22x}{4}+\frac{\sin2x}{2}\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Izvlacim [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] ispred, i iz diferencialne jednacine:
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\cos x-\sin x[/dispmath] dobijam da je [inlmath]y=-(\sin x+\cos x)[/inlmath] sto je ustvari moja smena za ovaj integral. Dakle, neka je: [inlmath]-(\sin x+\cos x)=t[/inlmath], dobijam posle da je
[dispmath](\cos x-\sin x)\,\mathrm dx=-\,\mathrm dt[/dispmath] i ako kvadriram izraz [inlmath]-(\sin x+\cos x)=t[/inlmath] bice da je [inlmath]1+\sin2x=t^2[/inlmath], odatle izrazim [inlmath]\sin2x=t^2-1[/inlmath], i imam da je [inlmath]\sin^22x=\left(t^2-1\right)^2[/inlmath], sto je veoma solidno resenje "bez kobasica" . :lol:
Integral postaje:
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right)\left(t^4-4t^2+1\right)}[/dispmath] sto je ustvari:
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right)\left(t^2+\sqrt2t-1\right)\left(t^2-\sqrt2t-1\right)}[/dispmath] jer je [inlmath]t^4-4t^2+1=\left(t^2-1\right)^2-2t^2[/inlmath] i ovde uocavamo razliku kvadrata, koja daje izraz u imeniocu integrala.
Ovo se najzad lako resava preko neodredjenih koeficijenata [inlmath]A,B,C,D,E,F[/inlmath]. Ja smatram da je ovaj postupak resavanja slicnog integrala moguc za bilo koju vrstu podintegralne funkcije sto se tice imenioca. Inace radio sam ga vise puta, ali na kraju je uspelo. :thumbup:
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

  • +1

Re: Trigonometrijski integral.

Postod Daniel » Petak, 01. Decembar 2017, 17:35

Odlična ideja, :thumbup: uz tri korekcije samog postupka:
Subject je napisao:[dispmath]\int\frac{\cos x-\sin x}{(1-\sin2x)\left(1−\frac{\sin^22x}{4}+\frac{\sin2x}{2}\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Izvlacim [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] ispred,

Izvlači se [inlmath]4[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath].

Subject je napisao:i iz diferencialne jednacine:
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\cos x-\sin x[/dispmath] dobijam da je [inlmath]y=-(\sin x+\cos x)[/inlmath]

Treba [inlmath]y=\sin x+\cos x[/inlmath] (dakle, bez minusa).

I, nakon smene ti se potkrala neka greška u sređivanju izraza, tako da umesto crvenog faktora
Subject je napisao:[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right){\color{red}\left(t^4-4t^2+1\right)}}[/dispmath]

treba da se dobije [inlmath]\left(-t^4+4t^2+1\right)[/inlmath].

Uz ove korekcije, dobije se integral koji glasi
[dispmath]4\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right)\left(-t^4+4t^2+1\right)}[/dispmath] i onda ovaj faktor [inlmath]4.[/inlmath] stepena može da se razloži kao [inlmath]-\left(t^2-2-\sqrt5\right)\left(t^2-2+\sqrt5\right)[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7778
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 11. Decembar 2019, 18:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs