Vracam se na kratko na ovaj integral.
Dakle dosao sam do:
[dispmath]\int\frac{1}{(\cos x-\sin x)\left(1−\sin^2x\cos^2x+\cos x\sin x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath]
Pomnozicu i podelicu sa: [inlmath](\cos x-\sin x)[/inlmath] pa dobijam:
[dispmath]\int\frac{\cos x-\sin x}{(\cos x-\sin x)^2\left(1−\frac{4}{4}\sin^2x\cos^2x+\frac{2}{2}\sin x\cos x\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] i to je sad:
[dispmath]\int\frac{\cos x-\sin x}{(1-\sin2x)\left(1−\frac{\sin^22x}{4}+\frac{\sin2x}{2}\right)}\,\mathrm dx[/dispmath] Izvlacim [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] ispred, i iz diferencialne jednacine:
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\cos x-\sin x[/dispmath] dobijam da je [inlmath]y=-(\sin x+\cos x)[/inlmath] sto je ustvari moja smena za ovaj integral. Dakle, neka je: [inlmath]-(\sin x+\cos x)=t[/inlmath], dobijam posle da je
[dispmath](\cos x-\sin x)\,\mathrm dx=-\,\mathrm dt[/dispmath] i ako kvadriram izraz [inlmath]-(\sin x+\cos x)=t[/inlmath] bice da je [inlmath]1+\sin2x=t^2[/inlmath], odatle izrazim [inlmath]\sin2x=t^2-1[/inlmath], i imam da je [inlmath]\sin^22x=\left(t^2-1\right)^2[/inlmath], sto je veoma solidno resenje "bez kobasica" .
Integral postaje:
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right)\left(t^4-4t^2+1\right)}[/dispmath] sto je ustvari:
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dt}{\left(2-t^2\right)\left(t^2+\sqrt2t-1\right)\left(t^2-\sqrt2t-1\right)}[/dispmath] jer je [inlmath]t^4-4t^2+1=\left(t^2-1\right)^2-2t^2[/inlmath] i ovde uocavamo razliku kvadrata, koja daje izraz u imeniocu integrala.
Ovo se najzad lako resava preko neodredjenih koeficijenata [inlmath]A,B,C,D,E,F[/inlmath]. Ja smatram da je ovaj postupak resavanja slicnog integrala moguc za bilo koju vrstu podintegralne funkcije sto se tice imenioca. Inace radio sam ga vise puta, ali na kraju je uspelo.
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan