Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Izračunavanje površine lika primjenom integrala

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Izračunavanje površine lika primjenom integrala

Postod slavonija035 » Sreda, 12. Jun 2013, 13:53

izračunajte površinu lika omeđenog parabolom [inlmath]y=x^2-4[/inlmath] te pravcima [inlmath]y=-3[/inlmath] i [inlmath]y=2x-1[/inlmath]...

ako može netko izračunati da provjerim jer nemam rješenje od ovog zadatka :)
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izračunavanje površine lika primjenom integrala

Postod slavonija035 » Sreda, 12. Jun 2013, 14:41

edit:
ako može kojim slučajem i ovaj zadatak:
izračunaj volumen tijela koje nastaje rotacijom oko osi [inlmath]y[/inlmath] lika omeđenog krivuljama: [inlmath]y^2=x+1,\;x=0,\;y=-2[/inlmath]...
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Izračunavanje površine lika primjenom integrala

Postod Daniel » Sreda, 12. Jun 2013, 18:21

Koliko sam razumeo, za prvi si tražio samo rešenje, da bi uporedio sa svojim?
Ja dobijem [inlmath]P=\frac{28}{3}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta

Re: Izračunavanje površine lika primjenom integrala

Postod Daniel » Četvrtak, 13. Jun 2013, 08:47

slavonija035 je napisao:edit:
ako može kojim slučajem i ovaj zadatak:
izračunaj volumen tijela koje nastaje rotacijom oko osi [inlmath]y[/inlmath] lika omeđenog krivuljama: [inlmath]y^2=x+1,\;x=0,\;y=-2[/inlmath]...

Pošto ovaj lik rotira oko [inlmath]y[/inlmath]-ose, možemo izvršiti inverziju, tako što ćemo svuda [inlmath]x[/inlmath] zameniti sa [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] zameniti sa [inlmath]x[/inlmath] i posmatrati rotaciju tog tela oko [inlmath]x[/inlmath]-ose. Na taj način zapremina dobijenog tela se neće promeniti, a slučaj smo sveli na standardni oblik na koji smo navikli.

Znači,
[inlmath]\begin{array}{l}
x^2=y+1\\
y=0\\
x=-2
\end{array}[/inlmath]

[inlmath]x[/inlmath]-koordinata preseka pravca [inlmath]x=-2[/inlmath] i parabole [inlmath]x^2=y+1[/inlmath] mora biti [inlmath]-2[/inlmath], čim pripada pravcu [inlmath]x=-2[/inlmath]; isto važi i za presek pravca [inlmath]x=-2[/inlmath] i pravca [inlmath]y=0[/inlmath].

[inlmath]x[/inlmath]-koordinata preseka pravca [inlmath]y=0[/inlmath] (tj. [inlmath]x[/inlmath]-ose) i parabole [inlmath]x^2=y+1[/inlmath]:
[dispmath]x^2=0+1\\
x=\pm 1[/dispmath]
volumen.png
volumen.png (1.58 KiB) Pogledano 362 puta

Sa slike vidimo da granice integraljenja treba da idu od [inlmath]-2[/inlmath] do [inlmath]-1[/inlmath]:
[dispmath]V=\pi\int\limits_{-2}^{-1}f^2\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]
Pošto je parabola predstavljena sa [inlmath]x^2=y+1[/inlmath], odatle će biti [inlmath]f\left(x\right)=y=x^2-1[/inlmath]:
[dispmath]V=\pi\int\limits_{-2}^{-1}\left(x^2-1\right)^2\mathrm dx[/dispmath][dispmath]V=\pi\int\limits_{-2}^{-1}\left(x^4-2x^2+1\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]V=\pi\left(\int\limits_{-2}^{-1}x^4\mathrm dx-2\int\limits_{-2}^{-1}x^2\mathrm dx+\int\limits_{-2}^{-1}\mathrm dx\right)[/dispmath][dispmath]V=\pi\left(\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-2}^{-1}-2\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-2}^{-1}+\left.x\right|_{-2}^{-1}\right)[/dispmath][dispmath]V=\pi\left[\frac{\left(-1\right)^5}{5}-\frac{\left(-2\right)^5}{5}-2\frac{\left(-1\right)^3}{3}+2\frac{\left(-2\right)^3}{3}+\left(-1\right)-\left(-2\right)\right][/dispmath][dispmath]V=\pi\left(\frac{31}{5}-\frac{14}{3}+1\right)[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{V=\frac{38}{15}\pi}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta

Re: Izračunavanje površine lika primjenom integrala

Postod slavonija035 » Četvrtak, 13. Jun 2013, 14:18

Daniel je napisao:Koliko sam razumeo, za prvi si tražio samo rešenje, da bi uporedio sa svojim?
Ja dobijem [inlmath]P=\frac{28}{3}[/inlmath].

ako nije problem, može li i postupak ovog zadatka?
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Izračunavanje površine lika primjenom integrala

Postod Daniel » Četvrtak, 13. Jun 2013, 14:45

[inlmath]y=x^2-4\\
y=-3\\
y=2x-1[/inlmath]
Radi određivanja granica integraljenja, potrebno je da odredimo [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečih tačaka:

Presek pravaca [inlmath]y=-3[/inlmath] i [inlmath]y=2x-1[/inlmath]:
[inlmath]2x-1=-3\\
x=-1[/inlmath]

Presek parabole i pravca [inlmath]y=-3[/inlmath]:
[inlmath]-3=x^2-4\\
x=\pm 1[/inlmath]

Presek parabole i pravca [inlmath]y=2x-1[/inlmath]:
[inlmath]x^2-4=2x-1\\
x^2-2x-3=0\\
x_1=-1,\;x_2=3[/inlmath]

Nacrtamo sliku

povrsina.png
povrsina.png (2.92 KiB) Pogledano 355 puta

i vidimo da od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] tražimo površinu ograničenu pravcima [inlmath]y=2x-1[/inlmath] i [inlmath]y=-3[/inlmath], a od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]3[/inlmath] površinu ograničenu pravcem [inlmath]y=2x-1[/inlmath] i parabolom [inlmath]y=x^2-4[/inlmath].
[dispmath]P=\int\limits_{-1}^1\left[\left(2x-1\right)-\left(-3\right)\right]\mathrm dx+\int\limits_1^3\left[\left(2x-1\right)-\left(x^2-4\right)\right]\mathrm dx[/dispmath][dispmath]P=2\int\limits_{-1}^1\left(x+1\right)\mathrm dx+\int\limits_1^3\left(-x^2+2x+3\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]P=2\int\limits_{-1}^1 x\mathrm dx+2\int\limits_{-1}^1\mathrm dx-\int\limits_1^3 x^2\mathrm dx+2\int\limits_1^3 x\mathrm dx+3\int\limits_1^3\mathrm dx[/dispmath][dispmath]P=\cancel 2\left.\frac{x^2}{\cancel 2}\right|_{-1}^1+2\left.x\right|_{-1}^1-\left.\frac{x^3}{3}\right|_1^3+\cancel 2\left.\frac{x^2}{\cancel 2}\right|_1^3+3\left.x\right|_1^3[/dispmath][dispmath]P=1^2-\left(-1\right)^2+2-\left(-2\right)-\frac{3^3}{3}+\frac{1^3}{3}+3^2-1^2+9-3[/dispmath][dispmath]P=4-9+\frac{1}{3}+9-1+6[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{P=\frac{28}{3}}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 26. Septembar 2020, 19:28 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs