Da li je funkcija integrabilna?

PostPoslato: Subota, 13. April 2019, 20:35
od diopo
Data je funkcija [inlmath]f(x)=\begin{cases}
-7^{2017}, & x\in\{-3,-2,0\}\\
\frac{1}{x^2}, & x\in(-3,+\infty)\setminus\{-2,0\}
\end{cases}[/inlmath]
Izracunati [inlmath]\int\limits_{-3}^1f(x)\,\mathrm dx[/inlmath].

Potupuno sam se zbunio... ne znam da li ovo mogu da resim kao obican nesvojstveni integral ili mora malo veca diskusija. Pre svega, da bih odabrao podintegralnu funkciju moram malo bolje da izucim sta se desava sa njom na tom intervalu. Pretpostavljam da podintegralna funkcija treba da bude [inlmath]\frac{1}{x^2}[/inlmath] ali ne znam da li mogu to da uradim jer ona funkcija nije integrabilna na segmentu [inlmath][-3,1][/inlmath], a mozda opet mogu jer sama funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] za argument [inlmath]0[/inlmath] vraca konstantu... uopste nisam siguran kako se ovo radi.

Re: Da li je funkcija integrabilna?

PostPoslato: Subota, 27. April 2019, 20:29
od Daniel
Možeš primeniti sličnu tehniku kao i kod nesvojstvenih integrala druge vrste:
[dispmath]\int\limits_{-3}^1f(x)\,\mathrm dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\left(\int\limits_{-3+\varepsilon}^{-2-\varepsilon}\frac{1}{x^2}\,\mathrm dx-\cancelto{0}{\int\limits_{-2-\varepsilon}^{-2+\varepsilon}7^{2017}\,\mathrm dx}+\int\limits_{-2+\varepsilon}^{-\varepsilon}\frac{1}{x^2}\,\mathrm dx-\cancelto{0}{\int\limits_{-\varepsilon}^\varepsilon7^{2017}\,\mathrm dx}+\int\limits_\varepsilon^1\frac{1}{x^2}\,\mathrm dx\right)=\cdots[/dispmath]
A i ako vizuelizuješ problem, pa vrednost određenog integrala posmatraš kao površinu koju kriva funkcije obrazuje s [inlmath]x[/inlmath]-osom na datom intervalu, uočićeš da promena vrednosti funkcije u konačno mnogo tačaka na posmatranom intervalu nema uticaja na vrednost određenog integrala na tom intervalu.