Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

U zavisnosti od parametra ispitati konvergenciju integrala

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

U zavisnosti od parametra ispitati konvergenciju integrala

Postod Vv123 » Utorak, 20. Avgust 2019, 09:28

Pozdrav, imam par pitanja vezano za ovaj zadatak u kome treba ispitati konvergenciju integrala
[dispmath]\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{\left(x^\alpha-4\right)\sqrt{x-2}}[/dispmath] Znam da [inlmath]\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^\alpha}[/inlmath] konvergira ako i samo ako je [inlmath]\alpha<1[/inlmath] i da [inlmath]\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^\alpha}[/inlmath] konvergira ako i samo ako je [inlmath]\alpha>1[/inlmath].

Podintegralna funkcija ovog integrala se u beskonacnosti ponasa isto kao [inlmath]\frac{1}{x^{\alpha+\frac{1}{2}}}[/inlmath], odnosno
[dispmath]\frac{1}{\left(x^\alpha-4\right)\sqrt{x-2}}\sim\frac{1}{x^{\alpha+\frac{1}{2}}}[/dispmath] kad [inlmath]x\to\infty[/inlmath]. Iz toga se moze zakljuciti da ako dati integral konvergira, zbog ponasanja u beskonacnosti mora biti [inlmath]\alpha+\frac{1}{2}>1[/inlmath], tj. [inlmath]\alpha>\frac{1}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]\alpha[/inlmath] svakako mora biti vece od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], medjutim to nije konacni zakljucak, to je samo potrebni, ali ne i dovoljni uslov konvergencije.

Sada treba ispitati ponasanje ove podintegralne funkcije u okolini kriticnih tacaka, ovde su to tacke u kojima imenilac nije definisan. Mislim da je jedna tacka [inlmath]2[/inlmath], a za drugu nisam sigurna.

Ne znam kako bih dalje radila. S obzirom da ne znam [inlmath]\alpha[/inlmath] onda ne znam da odredim drugu kriticnu tacku. Ili mozda treba da posmatram vise slucajeva za [inlmath]\alpha[/inlmath]. Da li nadalje treba traziti Tejlorove razvoje u okolini kriticnih tacaka?
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: U zavisnosti od parametra ispitati konvergenciju integrala

Postod Onomatopeja » Sreda, 04. Septembar 2019, 17:06

Da, dotle si dobro uradio. Sada je potrebno odrediti da li i kada imam drugih singulariteta sem tacke [inlmath]2[/inlmath]. Zato se moze posmatrati funkcija [inlmath]f(x)=x^\alpha-4[/inlmath] za [inlmath]x\in [2,\infty)[/inlmath]. Ako je [inlmath]\alpha>2[/inlmath] tada je [inlmath]f(x)>0[/inlmath] na celom svom domenu, te su jedini singulariteti podintegralne funkcije [inlmath]2[/inlmath] i beskonacno. Ako je [inlmath]\alpha=2[/inlmath] onda je [inlmath]f(x)=0[/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]x=2[/inlmath] i jedini singulariteti su ponovo [inlmath]2[/inlmath] i beskonacno. Ako je [inlmath]\alpha\in (\frac12,2)[/inlmath] tada se moze pokazati da za svako takvo [inlmath]\alpha[/inlmath] postoji jedinstveno [inlmath]c_\alpha \in (2,\infty)[/inlmath] takvo da je [inlmath]f(c_\alpha)=0[/inlmath] (jer je [inlmath]f(2)<0[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\infty[/inlmath] i [inlmath]f[/inlmath] je strogo rastuca neprekidna funkcija). Zato su u tom slucaju singulariteti [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]c_\alpha[/inlmath] i beskonacno. I onda se ispitivanjem svih tih slucajeva vidi da integral konvergira ako i samo ako je [inlmath]\alpha>2.[/inlmath]
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 00:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs