Pozdrav, imam par pitanja vezano za ovaj zadatak u kome treba ispitati konvergenciju integrala
[dispmath]\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{\left(x^\alpha-4\right)\sqrt{x-2}}[/dispmath] Znam da [inlmath]\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^\alpha}[/inlmath] konvergira ako i samo ako je [inlmath]\alpha<1[/inlmath] i da [inlmath]\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^\alpha}[/inlmath] konvergira ako i samo ako je [inlmath]\alpha>1[/inlmath].
Podintegralna funkcija ovog integrala se u beskonacnosti ponasa isto kao [inlmath]\frac{1}{x^{\alpha+\frac{1}{2}}}[/inlmath], odnosno
[dispmath]\frac{1}{\left(x^\alpha-4\right)\sqrt{x-2}}\sim\frac{1}{x^{\alpha+\frac{1}{2}}}[/dispmath] kad [inlmath]x\to\infty[/inlmath]. Iz toga se moze zakljuciti da ako dati integral konvergira, zbog ponasanja u beskonacnosti mora biti [inlmath]\alpha+\frac{1}{2}>1[/inlmath], tj. [inlmath]\alpha>\frac{1}{2}[/inlmath], odnosno [inlmath]\alpha[/inlmath] svakako mora biti vece od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], medjutim to nije konacni zakljucak, to je samo potrebni, ali ne i dovoljni uslov konvergencije.
Sada treba ispitati ponasanje ove podintegralne funkcije u okolini kriticnih tacaka, ovde su to tacke u kojima imenilac nije definisan. Mislim da je jedna tacka [inlmath]2[/inlmath], a za drugu nisam sigurna.
Ne znam kako bih dalje radila. S obzirom da ne znam [inlmath]\alpha[/inlmath] onda ne znam da odredim drugu kriticnu tacku. Ili mozda treba da posmatram vise slucajeva za [inlmath]\alpha[/inlmath]. Da li nadalje treba traziti Tejlorove razvoje u okolini kriticnih tacaka?