Izračunavanje zapremine tela pomoću trostrukog integrala i sfernih koordinata
Poslato: Nedelja, 08. Septembar 2019, 02:17
Pozdrav svima,
Imam jednu nedoumicu koja mi se javila već u nekoliko zadataka. Ukratko, granice ne postavim isto kao u rešenju zbirke, a opet dobijem tačno. Znam da granice nisu jedinstvene, ali svakako mi je čudno. Evo primera:
Izračunati zapreminu tela [inlmath]T= \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2 \leq 9, z^2 \geq \displaystyle \frac{x^2+y^2}{3}, z \geq 0 \right\}[/inlmath].
S obzirom da u ovom primeru imamo presek "gornje" polovine konusa i "gornje" polovine lopte, pogodna je situacija da se upotrebe sferne koordinate i da napravimo odgovarajuću smenu.
Na slici 1, za [inlmath]x=0[/inlmath], vidimo grafike potrebnih delova krivih [inlmath]x^2+y^2=9[/inlmath] i [inlmath]z= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}|y|[/inlmath]. Odatle lako vidimo da [inlmath]0 \leq \rho \leq 3[/inlmath] i [inlmath]0 \leq \phi \leq \displaystyle \frac{\pi}{3}[/inlmath]. E sad, pošto smo odredili granice za [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\phi[/inlmath] treba još da vidimo koliko treba da se okrenemo oko [inlmath]z[/inlmath]-ose, odnosno da odredimo [inlmath]\theta[/inlmath]. Pošto za svaki presek ravni oblika [inlmath]z=a, a\in (0,3)[/inlmath] i konusa ili omotača lopte dobijemo kružnicu, i to celu, meni je logično da [inlmath]0 \leq \theta \leq 2 \pi[/inlmath]. I za ovako postavljene granice dobije se tačan rezlutat [inlmath]9 \pi[/inlmath]. U knjizi su istim načinom razmišljanja došli do sledećih granica [inlmath]- \pi \leq \theta \leq \pi[/inlmath], a za [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\phi[/inlmath] su iste. Rezultat je isti. Ja pretpostavljam da se ovde desilo sledeće: funkcija [inlmath]f(x,y,z) = 1[/inlmath] koju integralimo prema određenim granicama je simetrična, pa se zbog različitih znakova sinusa i kosinusa u različitim kvadrantima nekako pokrate neki isti medjurezultati. Na primer skrati se vrednost integrala iz trećeg i četvrtog kvadranta kad posmatramo [inlmath]\theta[/inlmath]. Ako sam dobro predvideo, kako oni u rešenju u knjizi tako olako koriste tu činjenicu bez objašnjenja sličnog prethodnoj rečenici. Kako se uopšte može govoriti o zapremini celog tela, ako se ono ne obiđe celo, s obzirom da je funkciju tri promenljive teško zamisliti i zaključiti da li je simetrična? Ili sam ja nešto pogrešno ovde radio, a slučajno dobio dobro rešenje?
P.S. Slika nema mnogo veze sa nedoumicom, pa se može ukloniti da ne prekipi memorija
Imam jednu nedoumicu koja mi se javila već u nekoliko zadataka. Ukratko, granice ne postavim isto kao u rešenju zbirke, a opet dobijem tačno. Znam da granice nisu jedinstvene, ali svakako mi je čudno. Evo primera:
Izračunati zapreminu tela [inlmath]T= \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2 \leq 9, z^2 \geq \displaystyle \frac{x^2+y^2}{3}, z \geq 0 \right\}[/inlmath].
S obzirom da u ovom primeru imamo presek "gornje" polovine konusa i "gornje" polovine lopte, pogodna je situacija da se upotrebe sferne koordinate i da napravimo odgovarajuću smenu.
Na slici 1, za [inlmath]x=0[/inlmath], vidimo grafike potrebnih delova krivih [inlmath]x^2+y^2=9[/inlmath] i [inlmath]z= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}|y|[/inlmath]. Odatle lako vidimo da [inlmath]0 \leq \rho \leq 3[/inlmath] i [inlmath]0 \leq \phi \leq \displaystyle \frac{\pi}{3}[/inlmath]. E sad, pošto smo odredili granice za [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\phi[/inlmath] treba još da vidimo koliko treba da se okrenemo oko [inlmath]z[/inlmath]-ose, odnosno da odredimo [inlmath]\theta[/inlmath]. Pošto za svaki presek ravni oblika [inlmath]z=a, a\in (0,3)[/inlmath] i konusa ili omotača lopte dobijemo kružnicu, i to celu, meni je logično da [inlmath]0 \leq \theta \leq 2 \pi[/inlmath]. I za ovako postavljene granice dobije se tačan rezlutat [inlmath]9 \pi[/inlmath]. U knjizi su istim načinom razmišljanja došli do sledećih granica [inlmath]- \pi \leq \theta \leq \pi[/inlmath], a za [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\phi[/inlmath] su iste. Rezultat je isti. Ja pretpostavljam da se ovde desilo sledeće: funkcija [inlmath]f(x,y,z) = 1[/inlmath] koju integralimo prema određenim granicama je simetrična, pa se zbog različitih znakova sinusa i kosinusa u različitim kvadrantima nekako pokrate neki isti medjurezultati. Na primer skrati se vrednost integrala iz trećeg i četvrtog kvadranta kad posmatramo [inlmath]\theta[/inlmath]. Ako sam dobro predvideo, kako oni u rešenju u knjizi tako olako koriste tu činjenicu bez objašnjenja sličnog prethodnoj rečenici. Kako se uopšte može govoriti o zapremini celog tela, ako se ono ne obiđe celo, s obzirom da je funkciju tri promenljive teško zamisliti i zaključiti da li je simetrična? Ili sam ja nešto pogrešno ovde radio, a slučajno dobio dobro rešenje?
P.S. Slika nema mnogo veze sa nedoumicom, pa se može ukloniti da ne prekipi memorija