Rešavanje određenog integrala

PostPoslato: Subota, 04. Januar 2020, 17:13
od drinkača
Pre otprilike dva meseca u ovoj temi sam videla određeni integral:
[dispmath]\int\limits_{-1}^1\frac{\mathrm dx}{(a-x)\sqrt{1-x^2}},[/dispmath] uslov [inlmath]a>1[/inlmath] (ne znam zbog čega ovaj uslov?) koji sam rešavala pomoću smene:[dispmath]t^2=1-x^2[/dispmath] čak i parcijalnom integracijom, ali nikako nisam dobila rešenje. Sutradan ovog zadatka nije bilo na forumu! Da li neko može da pokaže kako se rešava ovaj zadatak?

Re: Rešavanje određenog integrala

PostPoslato: Subota, 04. Januar 2020, 17:57
od primus
Probaj da ga rešiš pomoću smene: [inlmath]x=\sin t[/inlmath]

Re: Rešavanje određenog integrala

PostPoslato: Subota, 04. Januar 2020, 20:10
od drinkača
Posle predložene smene dobijam ovaj integral koji ne mogu da rešim!
[dispmath]\int\limits_\frac{-\pi}{2}^\frac{\pi}{2}\frac{\mathrm dt}{a-\sin t}[/dispmath]

Re: Rešavanje određenog integrala

PostPoslato: Nedelja, 05. Januar 2020, 07:57
od primus
Uvedi smenu: [inlmath]s=\text{tg}\left(\frac{t}{2}\right)[/inlmath]

Re: Rešavanje određenog integrala

PostPoslato: Nedelja, 05. Januar 2020, 13:29
od arsenije
Drinkača, Primus je pokušao da pomogne, ali ne može tako. Integral se rešava:
uvodi se smena:
[dispmath]1-x=t^2\cdot(1+x)\\
\Longrightarrow\;x=\frac{1-t^2}{t^2+1}\\
\Longrightarrow\;\mathrm dx=\frac{-4t\cdot(\mathrm dt)}{\left(t^2+1\right)^2}\\
\Longrightarrow\;t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\\
a-x=\frac{(a+1)t^2+a-1}{t^2+1}\\
\sqrt{1-x^2}=\sqrt{(1-x)(1+x)}=\frac{2t}{t^2+1}[/dispmath] Sada integral postaje:
[dispmath]\int\limits_\infty^0\frac{\frac{-4t\cdot(dt)}{\left(t^2+1\right)^2}}{\frac{\left(t^2\cdot(a+1)+a-1\right)\cdot(2t)}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+1\right)}}[/dispmath] Posle skraćivanja i zbog minusa menjamo granice integrala i on postaje:
[dispmath]\int\limits_0^\infty{\frac{2\,\mathrm dt}{t^2(a+1)+a-1}},[/dispmath] sad kad podelimo integral sa [inlmath]a-1[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\frac{2}{a-1}\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dt}{\frac{a+1}{a-1}\left(t^2\right)+1},[/dispmath] sad uvodimo novu smenu:
[dispmath]t\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}=u,\qquad\Longrightarrow\qquad\mathrm dt=\mathrm du\,\frac{\sqrt{(a-1)}}{\sqrt{(a+1)}},[/dispmath] pa dobijamo:
[dispmath]\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm du}{u^2+1}[/dispmath] i ovo je sad tablični integral po [inlmath]\text{arctg }u[/inlmath], i lako se dobija konačno rešenje [inlmath]\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}[/inlmath], i sad je jasno zašto je onaj uslov na početku!

Re: Rešavanje određenog integrala

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Januar 2020, 00:50
od Daniel
Nakon otkrivanja da je „drinkača“ klonirani nalog korisnika „arsenije“, postupio sam po tački 24. Pravilnika, kojom je predviđeno banovanje oba korisnička naloga.