Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Integrali s polinomima

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Integrali s polinomima

Postod Daniel » Četvrtak, 05. Decembar 2013, 13:41

Ova dva zadatka su postavljena u ovoj temi.

smaka7 je napisao:1. Rešiti integral:
[dispmath]\int\left(\left(x^5+2\left(x^3+2\right)+x\right)\cdot\ln\left(3-x\right)\right)\mathrm dx[/dispmath]

[dispmath]\int\left(\left(x^5+2\left(x^3+2\right)+x\right)\times\ln\left(3-x\right)\right)\mathrm dx=\int\left(x^5+2x^3+x+4\right)\ln\left(3-x\right)\mathrm dx[/dispmath]
Pa onda primenimo parcijalnu integraciju [inlmath]\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du[/inlmath]:
[inlmath]u=\ln\left(3-x\right)\\
\mathrm du=\frac{-1}{3-x}\mathrm dx=\frac{\mathrm dx}{x-3}\\
\mathrm dv=\left(x^5+2x^3+x+4\right)\mathrm dx\\
v=\frac{x^6}{6}+2\cdot\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+4x=\frac{1}{6}\left(x^6+3x^4+3x^2+24x\right)[/inlmath]
i integral postaje:
[dispmath]\frac{1}{6}\left(x^6+3x^4+3x^2+24x\right)\ln\left(3-x\right)-\frac{1}{6}\int\frac{x^6+3x^4+3x^2+24x}{x-3}\mathrm dx[/dispmath]
Da bismo rešili integral [inlmath]\int\frac{x^6+3x^4+3x^2+24x}{x-3}\mathrm dx[/inlmath], potrebno je da polinom u brojiocu podelimo polinomom u imeniocu, kako bismo u brojiocu imali polinom manjeg stepena od onog u imeniocu:

[inlmath]x^6+3x^4+3x^2+24x:x-3=x^5+3x^4+12x^3+36x^2+111x+357\\
\underline{x^6-3x^5}\\
{\color{transparent}x^6+}3x^5+3x^4+3x^2+24x\\
{\color{transparent}x^6+}\underline{3x^5-9x^4}\\
{\color{transparent}x^6+3x^51}12x^4+3x^2+24x\\
{\color{transparent}x^6+3x^51}\underline{12x^4-36x^3}\\
{\color{transparent}x^6+3x^5112x^4-}36x^3+3x^2+24x\\
{\color{transparent}x^6+3x^5112x^4-}\underline{36x^3-108x^2}\\
{\color{transparent}x^6+3x^5112x^4-36x^3-}111x^2+24x\\
{\color{transparent}x^6+3x^5112x^4-36x^3-}\underline{111x^2-333x}\\
{\color{transparent}x^6+3x^5112x^4-36x^3-111x^2-}357x\\
{\color{transparent}x^6+3x^5112x^4-36x^3-111x^2-}\underline{357x-1071}\\
{\color{transparent}x^6+3x^5112x^4-36x^3-111x^2-357x-}1071[/inlmath]

Dobili smo količnik [inlmath]x^5+3x^4+12x^3+36x^2+111x+357[/inlmath] i ostatak [inlmath]1071[/inlmath], tako da posmatrani razlomak možemo napisati u obliku
[dispmath]\frac{x^6+3x^4+3x^2+24x}{x-3}=x^5+3x^4+12x^3+36x^2+111x+357+\frac{1071}{x-3}[/dispmath]
i to uvrstimo u prethodni izraz:
[dispmath]\frac{1}{6}\left(x^6+3x^4+3x^2+24x\right)\ln\left(3-x\right)-\frac{1}{6}\int\left(x^5+3x^4+12x^3+36x^2+111x+357+\frac{1071}{x-3}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{6}\left(x^6+3x^4+3x^2+24x\right)\ln\left(3-x\right)-\frac{1}{6}\int\left(x^5+3x^4+12x^3+36x^2+111x+357\right)\mathrm dx-\frac{1071}{6}\int\frac{\mathrm dx}{x-3}=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{6}\left(x^6+3x^4+3x^2+24x\right)\ln\left(3-x\right)-\frac{1}{6}\left(\frac{x^6}{6}+3\cdot\frac{x^5}{5}+12\cdot\frac{x^4}{4}+36\cdot\frac{x^3}{3}+111\cdot\frac{x^2}{2}+357x\right)-\frac{357}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x-3}=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{6}\left(x^6+3x^4+3x^2+24x\right)\ln\left(3-x\right)-\frac{1}{180}\left(5x^6+18x^5+90x^4+360x^3+1665x^2+10710x\right)-\frac{357}{2}\ln\left|x-3\right|+c=[/dispmath]
Zbog logaritma koji je zadat, [inlmath]\ln\left(3-x\right)[/inlmath], sledi da [inlmath]3-x[/inlmath], kao njegov argument, mora biti veći od nule:

[inlmath]3-x>0\quad\Rightarrow\quad x-3<0\quad\Rightarrow\quad\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)=3-x\quad\Rightarrow\quad\ln\left|x-3\right|=\ln\left(3-x\right)[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{6}\left(x^6+3x^4+3x^2+24x\right)\ln\left(3-x\right)-\frac{357}{2}\ln\left(3-x\right)-\frac{1}{180}\left(5x^6+18x^5+90x^4+360x^3+1665x^2+10710x\right)+c=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{6}\left(x^6+3x^4+3x^2+24x-1071\right)\ln\left(3-x\right)-\frac{1}{180}\left(5x^6+18x^5+90x^4+360x^3+1665x^2+10710x\right)+c[/dispmath]
smaka7 je napisao:2. Rešiti integral:
[dispmath]\int\frac{2x^4-6x^2-x}{x^3+2x^2+1}\mathrm dx[/dispmath]

U ovom zadatku je problematičan polinom trećeg stepena u imeniocu, koji se ne dâ na jednostavan način rastaviti na faktore. Treba proveriti da li zadatak zaista baš tako glasi.
Ali, ono što u svakom slučaju treba prvo uraditi to je da dobijemo razlomak kod kojeg je stepen polinoma u brojiocu manji od stepena polinoma u imeniocu. Potrebno je, znači, da polinom iz brojioca podelimo polinomom iz imenioca:

[inlmath]2x^4-6x^2-x:x^3+2x^2+1=2x\\
\underline{2x^4+4x^3+2x}\\
{\color{transparent}2x^4}-4x^3-6x^2-3x[/inlmath]

pa se razlomak može zapisati kao
[dispmath]\frac{2x^4-6x^2-x}{x^3+2x^2+1}=2x+\frac{-4x^3-6x^2-3x}{x^3+2x^2+1}[/dispmath]
a integral postaje
[dispmath]\int\frac{2x^4-6x^2-x}{x^3+2x^2+1}\mathrm dx=\int\left(2x+\frac{-4x^3-6x^2-3x}{x^3+2x^2+1}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=2\int x\mathrm dx+\int\frac{-4x^3-6x^2-3x}{x^3+2x^2+1}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}+\int\frac{-4x^3-6x^2-3x}{x^3+2x^2+1}\mathrm dx[/dispmath]
i dalje je, kô što rekoh, problem zbog ovog čudnog imenioca...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7866
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4112 puta
Pohvaljen: 4184 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot], MSN [Bot] i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 19. Februar 2020, 16:39 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs