Zapremina obrtnog tela
Poslato: Petak, 17. Januar 2014, 14:34
8. Izračunati zapreminu obrtnog tela koje nastaje rotacijom oko [inlmath]x[/inlmath]-ose figure ograničene linijama [inlmath]y=x^2[/inlmath] i [inlmath]y=2-x^2[/inlmath].
Rešenje:
[inlmath]y=x^2\;\land\;y=2-x^2\\[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\;x^2=2-x^2\;\Rightarrow\;2x^2=2\;\Rightarrow\;x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm 1[/inlmath], pa je [inlmath]y=1[/inlmath], tj. [inlmath]A\left(-1,1\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(1,1\right)[/inlmath] su tačke preseka ovih linija.
[dispmath]V=V_1-V_2[/dispmath][dispmath]=\pi\int\limits_{-1}^1\left(2-x^2\right)^2\mathrm dx-\pi\int\limits_{-1}^1\left(x^2\right)^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_0^1\left(4-4x^2+x^4-x^4\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]=\left.2\pi\left(4x-4\cdot\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=\left.8\pi\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=8\pi\left(1-\frac{1}{3}\right)=8\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{16\pi}{3}.[/dispmath]
Znam da rešim zadatak samo mi nije jasno na kraju zašto se ove dve zapremine ([inlmath]V_1[/inlmath] i [inlmath]V_2[/inlmath]) oduzimaju umesto da se sabiraju. Na slici vidim da stoje jedna pored druge tako da mi nije jasno šta se tu oduzima i zašto
Rešenje:
[inlmath]y=x^2\;\land\;y=2-x^2\\[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\;x^2=2-x^2\;\Rightarrow\;2x^2=2\;\Rightarrow\;x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm 1[/inlmath], pa je [inlmath]y=1[/inlmath], tj. [inlmath]A\left(-1,1\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(1,1\right)[/inlmath] su tačke preseka ovih linija.
[dispmath]V=V_1-V_2[/dispmath][dispmath]=\pi\int\limits_{-1}^1\left(2-x^2\right)^2\mathrm dx-\pi\int\limits_{-1}^1\left(x^2\right)^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_0^1\left(4-4x^2+x^4-x^4\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]=\left.2\pi\left(4x-4\cdot\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=\left.8\pi\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=8\pi\left(1-\frac{1}{3}\right)=8\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{16\pi}{3}.[/dispmath]
Znam da rešim zadatak samo mi nije jasno na kraju zašto se ove dve zapremine ([inlmath]V_1[/inlmath] i [inlmath]V_2[/inlmath]) oduzimaju umesto da se sabiraju. Na slici vidim da stoje jedna pored druge tako da mi nije jasno šta se tu oduzima i zašto