Pretpostavljam da se misli na površinu ograničenu ovim dvema figurama. U prvom delu postupka treba da prepoznamo koje su to figure, da nacrtamo skicu i da odredimo [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka ovih figura, kako bismo znali koje granice da, u drugom delu postupka, postavimo kao granice integraljenja.
Jednačina [inlmath]x^2+y^2=16[/inlmath], tj. [inlmath]x^2+y^2=4^2[/inlmath], predstavlja jednačinu kružnice s centrom u koordinatnom početku, čiji je poluprečnik [inlmath]4[/inlmath].
Jednačina [inlmath]y^2=4\left(x+1\right)[/inlmath] predstavlja jednačinu parabole, pomerene u odnosu na osnovni položaj parabole za [inlmath]1[/inlmath] nalevo – znači, teme joj je u tački [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath].
Presek ove dve krive možemo odrediti tako što [inlmath]y^2[/inlmath] iz jednačine parabole uvrstimo u jednačinu kružnice:
[dispmath]x^2+4\left(x+1\right)=16[/dispmath]
što, posle sređivanja, postaje
[dispmath]x^2+4x-12=0[/dispmath]
i rešenja su [inlmath]x_1=-6,\;x_2=2[/inlmath]
Kada iz toga odredimo [inlmath]y[/inlmath]-koordinate,
[dispmath]y^2=4\left(x+1\right)\\
y_1^2=4\left(x_1+1\right),\quad y_2^2=4\left(x_2+1\right)\\
\cancel{y_1^2=-20},\quad y_2^2=12[/dispmath]
Prvo rešenje odbacujemo, jer kvadrat realnog broja ne može biti negativan, tako da ostaje samo [inlmath]y_2^2=12[/inlmath], tj. [inlmath]y=\pm2\sqrt 3[/inlmath]. Prema tome, preseci ove dve krive su [inlmath]\left(2,-2\sqrt 3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2,2\sqrt 3\right)[/inlmath].
Sada sledi skica:
- povrsina.png (4.64 KiB) Pogledano 7329 puta
Pošto uočavamo simetričnost u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu (koju smo mogli i očekivati, budući da u jednačinama zadatih krivih [inlmath]y[/inlmath] figuriše samo u okviru [inlmath]y^2[/inlmath]), možemo računati samo onu polovinu tražene površine koja je iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, pa je pomnožiti sa [inlmath]2[/inlmath]. Da bismo to uradili, prvo moramo jednačine krivih napisati u eksplicitnom obliku:
[dispmath]x^2+y^2=16\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{16-x^2}[/dispmath]
a, pošto posmatramo samo deo iznad [inlmath]x[/inlmath] ose, uzimamo [inlmath]+[/inlmath]:
[dispmath]y=\sqrt{16-x^2}[/dispmath]
zatim
[dispmath]y^2=4\left(x+1\right)\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2\sqrt{x+1}[/dispmath]
a, pošto takođe posmatramo samo deo iznad [inlmath]x[/inlmath] ose, uzimamo i ovde [inlmath]+[/inlmath]:
[dispmath]y=2\sqrt{x+1}[/dispmath]
I sada, sa skice vidimo da:
– u intervalu [inlmath]x\in\left(-\infty,-1\right)[/inlmath] nema površine koja nas interesuje;
– u intervalu [inlmath]x\in\left(-1,2\right)[/inlmath] površina koja nam je od interesa je površina između pozitivnog dela parabole i [inlmath]x[/inlmath]-ose, pomnožena sa [inlmath]2[/inlmath];
– u intervalu [inlmath]x\in\left(2,4\right)[/inlmath] površina koja nam je od interesa je površina između pozitivnog dela kružnice i [inlmath]x[/inlmath]-ose, takođe pomnožena sa [inlmath]2[/inlmath];
– u intervalu [inlmath]x\in\left(4,+\infty\right)[/inlmath] nema površine koja nas interesuje.
Znači, traženu površinu izračunavamo po formuli:
[dispmath]2\int\limits_{-1}^2 2\sqrt{x+1}\:\mathrm dx+2\int\limits_2^4\sqrt{16-x^2}\:\mathrm dx=\cdots[/dispmath]