Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Integral trigonometrijskih funkcija

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Integral trigonometrijskih funkcija

Postod slavonija035 » Četvrtak, 03. April 2014, 13:03

[dispmath]\int\frac{\cos x}{\cos x-1}\text{d}x[/dispmath]
P.s. isprike administratorima ako nije trebalo u ovu temu nego u neku već postojeću
Poslednji put menjao Milovan dana Četvrtak, 03. April 2014, 16:14, izmenjena 3 puta
Razlog: Dodavanje Latex tagova
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Integral trigonometrijskih funkcija

Postod Milovan » Četvrtak, 03. April 2014, 16:23

Uvedi smenu [inlmath]\mathrm{tg}\frac x2=t[/inlmath]. Dobija se [inlmath]\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dx=2\frac{1}{1+t^2}\mathrm dt[/inlmath].

Uvrsti to u polazni integral. Tako ćeš ovo svesti na integral racionalne funkcije.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

Re: Integral trigonometrijskih funkcija

Postod slavonija035 » Četvrtak, 03. April 2014, 20:13

hvala na odgovoru, ali ja ovo i dalje nikako da uspijem riješiti
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Integral trigonometrijskih funkcija

Postod Milovan » Četvrtak, 03. April 2014, 23:56

Hm, evo ti rešenje tog integrala, na nešto drugačiji (i lakši, mada manje univerzalan) način:
[dispmath]\int\frac{\cos x}{\cos x-1}\text{d}x[/dispmath][dispmath]\int\frac{\cos x-1+1}{\cos x-1}\text{d}x[/dispmath][dispmath]\int\text{d}x+\int\frac{1}{\cos x-1}\text{d}x[/dispmath]
Kako je [inlmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath] ovo zadnje se svodi na:
[dispmath]\int\text{d}x-\int\frac{1}{2\sin ^2\frac{x}{2}}\text{d}x[/dispmath][dispmath]x+\mathrm{ctg}\frac{x}{2}+C[/dispmath]
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

  • +1

Re: Integral trigonometrijskih funkcija

Postod Daniel » Petak, 04. April 2014, 00:29

Hm, ja moram priznati da se onog prvog Milovanovog načina, sa smenom [inlmath]\mathrm{tg}\frac{x}{2}=t[/inlmath], ne bih nikad setio. :) Uvek bih, bez imalo kolebanja, krenuo s ovim drugim načinom koji je priložio, tako što se brojilac napiše kao [inlmath]\cos x-1+1[/inlmath]. :) Bar se meni taj način čini lakšim i logičnijim... ;)

Pošto ti je već priložena ideja sa smenom [inlmath]\mathrm{tg}\frac{x}{2}=t[/inlmath], pokazaću ti postupak, uz molbu da ubuduće, umesto „ne uspevam da rešim“, napišeš dokle si stigao i u kom koraku ti je nastao zastoj, kako bismo znali šta tačno treba da pomognemo. ;)

Dakle,
[inlmath]\mathrm{tg}\frac{x}{2}=t\\
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
\mathrm dx=2\frac{1}{1+t^2}\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}-1}\cdot 2\frac{1}{1+t^2}\mathrm dt=\cancel 2\int\frac{\frac{1-t^2}{\cancel{1+t^2}}}{\frac{-\cancel 2t^2}{\cancel{1+t^2}}}\frac{1}{1+t^2}\mathrm dt=\int\frac{t^2-1}{t^2\left(t^2+1\right)}\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{\cancel{t^2}}{\cancel{t^2}\left(t^2+1\right)}\mathrm dt-\int\frac{\mathrm dt}{t^2\left(t^2+1\right)}=\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}-\int\frac{\mathrm dt}{t^2\left(t^2+1\right)}=[/dispmath][dispmath]=\mathrm{arctg}\:t-\int\frac{t^2+1-t^2}{t^2\left(t^2+1\right)}\mathrm dt=\mathrm{arctg}\:t-\left[\int\frac{\cancel{t^2+1}}{t^2\cancel{\left(t^2+1\right)}}\mathrm dt-\int\frac{\cancel{t^2}}{\cancel{t^2}\left(t^2+1\right)}\mathrm dt\right]=[/dispmath][dispmath]=\mathrm{arctg}\:t-\int\frac{\mathrm dt}{t^2}+\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}=\mathrm{arctg}\:t+\frac{1}{t}+\mathrm{arctg}\:t+c=2\mathrm{arctg}\:t+\frac{1}{t}+c=[/dispmath]
Vraćamo smenu,
[dispmath]=\cancel 2\cdot\frac{x}{\cancel 2}+\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{x}{2}}+c=x+\mathrm{ctg}\frac{x}{2}+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Integral trigonometrijskih funkcija

Postod Milovan » Petak, 04. April 2014, 00:40

Jeste lakše na ovaj drugi način kod konkretnog primera, ali je prvi univerzalniji.

Svi integrali oblika [inlmath]\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx[/inlmath], gde je [inlmath]R[/inlmath] racionalna funkcija sinusa i(li) kosinusa se navedenom smenom mogu svesti na integrale racionalnih funkcija.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 03:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs