Hm, ja moram priznati da se onog prvog Milovanovog načina, sa smenom [inlmath]\mathrm{tg}\frac{x}{2}=t[/inlmath], ne bih nikad setio.
Uvek bih, bez imalo kolebanja, krenuo s ovim drugim načinom koji je priložio, tako što se brojilac napiše kao [inlmath]\cos x-1+1[/inlmath].
Bar se meni taj način čini lakšim i logičnijim...
Pošto ti je već priložena ideja sa smenom [inlmath]\mathrm{tg}\frac{x}{2}=t[/inlmath], pokazaću ti postupak, uz molbu da ubuduće, umesto „ne uspevam da rešim“, napišeš dokle si stigao i u kom koraku ti je nastao zastoj, kako bismo znali šta tačno treba da pomognemo.
Dakle,
[inlmath]\mathrm{tg}\frac{x}{2}=t\\
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
\mathrm dx=2\frac{1}{1+t^2}\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}-1}\cdot 2\frac{1}{1+t^2}\mathrm dt=\cancel 2\int\frac{\frac{1-t^2}{\cancel{1+t^2}}}{\frac{-\cancel 2t^2}{\cancel{1+t^2}}}\frac{1}{1+t^2}\mathrm dt=\int\frac{t^2-1}{t^2\left(t^2+1\right)}\mathrm dt=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{\cancel{t^2}}{\cancel{t^2}\left(t^2+1\right)}\mathrm dt-\int\frac{\mathrm dt}{t^2\left(t^2+1\right)}=\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}-\int\frac{\mathrm dt}{t^2\left(t^2+1\right)}=[/dispmath][dispmath]=\mathrm{arctg}\:t-\int\frac{t^2+1-t^2}{t^2\left(t^2+1\right)}\mathrm dt=\mathrm{arctg}\:t-\left[\int\frac{\cancel{t^2+1}}{t^2\cancel{\left(t^2+1\right)}}\mathrm dt-\int\frac{\cancel{t^2}}{\cancel{t^2}\left(t^2+1\right)}\mathrm dt\right]=[/dispmath][dispmath]=\mathrm{arctg}\:t-\int\frac{\mathrm dt}{t^2}+\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}=\mathrm{arctg}\:t+\frac{1}{t}+\mathrm{arctg}\:t+c=2\mathrm{arctg}\:t+\frac{1}{t}+c=[/dispmath]
Vraćamo smenu,
[dispmath]=\cancel 2\cdot\frac{x}{\cancel 2}+\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{x}{2}}+c=x+\mathrm{ctg}\frac{x}{2}+c[/dispmath]