Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Nehomogena diferencijalna jednačina višeg stepena

[inlmath]\left(1+x\right)y\mathrm dx+\left(1-y\right)x\mathrm dy=0[/inlmath]

Nehomogena diferencijalna jednačina višeg stepena

Postod Nemanja Markovic » Nedelja, 27. Septembar 2020, 16:18

Tekst zadatka glasi: Pronaći opšte rešenje diferencijalne jednačine:
[dispmath]y''+3y'-4y=xe^{-x}[/dispmath] Nisam siguran da li dobro radim zadatak, rešenje mi se ne čini dobrim.

Za računanje homogenog rešenja dobijem sledeće:
[dispmath]\lambda^2+3\lambda-4=0\\
\lambda_{1/2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}[/dispmath] Kad se sredi dobijem:
[dispmath]\lambda_1=-4\enspace\lambda_2=1[/dispmath] Iz toga:
[dispmath]y_H=c_1e^{-4x}+c_2e^x[/dispmath] Za partikularno rešenje krenem ovako:
[dispmath]y_p=(Ax+B)e^{-x}\\
y'=\left((Ax+B)e^{-x}\right)'\\
y'=Ae^{-x}-(Ax+B)e^{-x}\\
y'=e^{-x}(A-B-Ax)\\
y''=\left(e^{-x}(A-B-Ax)\right)'\\
y''=-e^{-x}(A-B-Ax)-Ae^{-x}\\
y''=e^{-x}(-A+B+Ax)-Ae^{-x}\\
y''=e^{-x}(-A+B+Ax-A)[/dispmath] Kada vratim u početnu jednačinu dobijem:
[dispmath]e^{-x}(-2A+B+Ax)+3e^{-x}(A-B-Ax)-4e^{-x}(Ax+B)=xe^{-x}[/dispmath] Ovde skratim [inlmath]e^{-x}[/inlmath] pošto se nalazi pored svih članova jednačine
[dispmath]-2A+B+Ax+3A-3B-3Ax-4Ax-4B=x\\
A-6B-6Ax=x[/dispmath] Iz ovoga dobijem da je:
[dispmath]-6A=1\quad A=-\frac{1}{6}[/dispmath] pa je
[dispmath]A-6B=0\quad-6B=\frac{1}{6}\quad B=-\frac{1}{36}[/dispmath] Pa mi je konačno rešenje:
[dispmath]y=y_h+y_p\\
y=c_1e^{-x}+c_2e^x+\left(-\frac{x}{6}-\frac{1}{36}\right)e^{-x}[/dispmath]
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Nehomogena diferencijalna jednačina višeg stepena

Postod Srdjan01 » Nedelja, 27. Septembar 2020, 19:37

Koliko vidim, postupak je ispravan, s tim da si ovdje vjerovatno pogriješio u kucanju:
Nemanja Markovic je napisao:[dispmath]y=c_1e^{-x}+c_2e^x+\left(-\frac{x}{6}-\frac{1}{36}\right)e^{-x}[/dispmath]

Trebalo bi da bude
[dispmath]y=c_1e^{-4x}+c_2e^x+\left(-\frac{x}{6}-\frac{1}{36}\right)e^{-x}[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 74
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 49 puta

Re: Nehomogena diferencijalna jednačina višeg stepena

Postod Nemanja Markovic » Nedelja, 27. Septembar 2020, 22:31

Srdjan01 je napisao:Koliko vidim, postupak je ispravan, s tim da si ovdje vjerovatno pogriješio u kucanju

Da, ceo zadatak sam pazio i onda pri kraju pažnja opala :D
Hvala na proveri, zadnja dva puta kad sam rešavao zadatak dobio sam različita rešenja pa mi je tuđe mišljenje dobrodošlo.
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Nehomogena diferencijalna jednačina višeg stepena

Postod Daniel » Sreda, 30. Septembar 2020, 20:25

Da, to je tačno rešenje, a u ispravnost rešenja se (ne samo sad nego i inače) možeš uveriti uvrštavanjem dobijenog rešenja u polaznu diferencijalnu jednačinu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta


Povratak na DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Oktobar 2020, 07:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs