Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

[inlmath]\left(1+x\right)y\mathrm dx+\left(1-y\right)x\mathrm dy=0[/inlmath]

Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod Ilija » Četvrtak, 14. Januar 2016, 00:10

Zanimaju me samo neke sitnice kod ovih diferencijalnih jednacina, jer se sa ovom oblascu susrecem prvi put. Kosultovao sam se sa administratorom, pa mi je dozvolio da objavim vise jednacnina odjednom u istoj temi. Sve jednacine radio sam kao jednacine koje razdvajaju promenljive, pa me zanima da li sam dobro odredio tip i da li sam dobro opste resenje izrazio preko [inlmath]y[/inlmath].

Ono sto me buni u svim jednacinama je konstanta [inlmath]C[/inlmath], ali u onom delu kad resenje treba da izrazim preko [inlmath]y[/inlmath]. Jednostavno ne znam gde ta konstanta treba "da ode".
[dispmath]1)\enspace2x^2yy'+y^2=2[/dispmath][dispmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\pm\sqrt{-e^{\frac{1}{x}+C}+2}}[/dispmath]
[dispmath]2)\enspace y'-x^2=y\left(x^2y+x^2-2y'\right)[/dispmath][dispmath]\ln\left|y^2+y+1\right|=\frac{x^3}{3}+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y^2+y=e^{\frac{x^3}{3}+C}-1}[/dispmath]
[dispmath]3)\enspace(x+1)y'+xy=0[/dispmath][dispmath]\ln|y|=\ln|x+1|-x+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=C(x+1)e^{-x}}[/dispmath]
[dispmath]4)\enspace(xy+2y)y'=x^2+3x-2[/dispmath][dispmath]\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}-2x+4\ln|x+2|+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\pm\sqrt{x^2-4x+8\ln|x+2|+C}}[/dispmath]
Ako neko stigne da pogleda, zahvaljujem. :)
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod Onomatopeja » Petak, 15. Januar 2016, 01:07

Ovo pod 2) se moze jos resiti (ako bas zelis), kao jednacina po [inlmath]y[/inlmath], a pod 3) nije dobro (premda se resenje moze zapisati i u tom obliku).
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

  • +2

Re: Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod desideri » Petak, 15. Januar 2016, 01:41

Pre svega se slažem s kolegom Onomatopejom, a što se tiče tvog pitanja Ilija, malo ću se raspisati jer mislim da je tvoje pitanje baš na mestu.

Ako je [inlmath]C[/inlmath] fiksirano, to jest konstanta, onda se opštim rešenjem diferencijalne jednačine prvog reda naziva funkcija [inlmath]y=g(x,C)[/inlmath] koja identički zadovoljava jednačinu za sve vrednosti konstante [inlmath]C[/inlmath].
Obično se zahteva da integralna kriva (geometrijski, rešenja diferencijalne jednačine predstavljena su krivim linijama) prolazi kroz neku tačku [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath].
Ovo je u vezi s tzv. početnim uslovima, npr. [inlmath]y(x_0)=y_0[/inlmath].
Konkretno, odgovor na tvoje pitanje je pomalo složen.
Ako možeš rešenje diferencijalne jednačine izraziti eksplicitno, tj. [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], onda ti je to super. Kao npr. u tvojoj jednačini br. 3.
[inlmath]C[/inlmath] "uvali" da se tako izrazim, izvini, gde god želiš, no je neophodno da dj prvog reda u opštem rešenju sadrži jednu konstantu. I samo jednu konstantu. Isto tako, opšte rešenje dj drugog reda (sa drugim izvodom promenljive [inlmath]y[/inlmath]) mora sadržati dve konstante.
E sada da li pišeš npr. [inlmath]e^C=C_1[/inlmath] ili [inlmath]\frac{C}{2}=C_1[/inlmath], to je stvar ukusa.
A rešenje dj možeš dati i u eksplicitnom i u implicitnom obliku, no najbitnije je šta se zapravo zahteva u zadatku.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod Ilija » Petak, 15. Januar 2016, 10:32

Onomatopeja je napisao:Ovo pod 2) se moze jos resiti (ako bas zelis), kao jednacina po [inlmath]y[/inlmath],

Ostavio sam ovako, jer ne znam kako da izrazim resenje preko [inlmath]y[/inlmath].

Onomatopeja je napisao:a pod 3) nije dobro (premda se resenje moze zapisati i u tom obliku).

U kom smislu mislis da nije dobro? Da li bi trebalo da bude zapisano drugacije?

desideri je napisao:[inlmath]C[/inlmath] "uvali" da se tako izrazim, izvini, gde god želiš, no je neophodno da dj prvog reda u opštem rešenju sadrži jednu konstantu. I samo jednu konstantu.

Nisam ocekivao ovakav odgovor. Posto vidim da je to izgleda slozenije nego sto sam mislio, ovo zvuci kao nesto sto je za sad najlakse po mene. :thumbs:
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

Re: Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod Onomatopeja » Petak, 15. Januar 2016, 12:03

Ilija je napisao:Ostavio sam ovako, jer ne znam kako da izrazim resenje preko [inlmath]y[/inlmath].

Pa shvatis sve kao kvadratnu jednacinu po [inlmath]y[/inlmath]. Prebacis [inlmath]e^{\large\frac{x^3}{3}+C}-1[/inlmath] na levu stranu, i onda, jel', resis.

Ilija je napisao:U kom smislu mislis da nije dobro? Da li bi trebalo da bude zapisano drugacije?

Resenje koje je trebalo da dobijes je [inlmath]y=(x+1)e^{C-x}[/inlmath], gde [inlmath]C\in\mathbb{R}[/inlmath]. Ali, ako bi stavio [inlmath]e^C=C_1[/inlmath], onda bi mogao da zapises slicno kao sto si i ti uradio, odnosno [inlmath]y=C_1(x+1)e^{-x}[/inlmath], pri cemu [inlmath]C_1\in\mathbb{R}_{>0}[/inlmath].

_____________________________________

I sad ne znam, ali nema nista too complicated oko resenja. Jednostavno, ako imas jednacinu prvog reda onda u opstem resenju ocekujes da se pojavi neodredjena konstanta, a ako imas jednacinu [inlmath]n[/inlmath]-tog reda (pojavljuje se [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod od [inlmath]y[/inlmath]), onda ocekujes (i imaces) u resenju [inlmath]n[/inlmath] neodredjenih konstanti. Druga je stvar ako imas neki pocetni uslov, jer onda mozes i odrediti tacno koliko je ta konstanta.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

  • +1

Re: Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod Ilija » Petak, 15. Januar 2016, 13:28

Onomatopeja je napisao:Pa shvatis sve kao kvadratnu jednacinu po [inlmath]y[/inlmath].

:facepalm: Toliko ocigledno, a ne bi mi palo na pamet. :D

Jasnije mi je sad to u vezi sa konstantom [inlmath]C[/inlmath]. Upravo me je to i bunilo (da li je [inlmath]C[/inlmath] ili cu zameniti [inlmath]e^C=C_1[/inlmath], gde sta ide i sl.), ali sada nema zabune. :D



Samo da zavrsim resenje za jednacinu pod [inlmath]2)[/inlmath]:
[dispmath]y^2+y-e^{\frac{x^3}{3}+C}+1=0\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\frac{1}{2}\left(\pm\sqrt{4e^{\frac{x^3}{3}+C}-3}-1\right)}[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +1

Re: Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod Daniel » Petak, 15. Januar 2016, 18:47

Ja bih imao dve primedbe.

Ilija je napisao:[dispmath]1)\enspace2x^2yy'+y^2=2[/dispmath][dispmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\pm\sqrt{-e^{\frac{1}{x}+C}+2}}[/dispmath]

Tačno si dobio [inlmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C[/inlmath], međutim, kad si računao eksplicitni oblik, zanemario si apsolutne zagrade:
[dispmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C\\
\left|2-y^2\right|=e^{\frac{1}{x}+C}\\
2-y^2=\pm e^{\frac{1}{x}+C}\\
y^2=2\pm e^{\frac{1}{x}+C}\\
y=\pm\sqrt{2\pm e^{\frac{1}{x}+C}}\\
y_1=\pm\sqrt{2-e^{\frac{1}{x}+C}},\quad y_2=\pm\sqrt{2+e^{\frac{1}{x}+C}}[/dispmath]
Eksplicitni oblik koji si ti dobio odgovara samo funkciji [inlmath]y_1[/inlmath], ne i funkciji [inlmath]y_2[/inlmath].
Međutim, upravo za funkciju [inlmath]y_1[/inlmath] vidimo da ona neće biti definisana kada je potkorena veličina negativna (tj. kada je [inlmath]e^{\frac{1}{x}+C}>2[/inlmath]), tako da za te vrednosti [inlmath]x[/inlmath] neće biti definisana ni polazna diferencijalna jednačina. Ako se traži da polazna diferencijalna jednačina bude definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath], tada moramo odbaciti rešenje [inlmath]y_1[/inlmath] i usvojiti samo rešenje [inlmath]y_2[/inlmath] (kod kojeg je potkorena veličina pozitivna za svaku vrednost [inlmath]x[/inlmath]).
(U drugom zadatku, u kojem se dobije [inlmath]\ln\left|y^2+y+1\right|=\frac{x^3}{3}+C[/inlmath], nemamo taj problem, budući da je izraz [inlmath]y^2+y+1[/inlmath] pozitivan za svako realno [inlmath]y[/inlmath], tako da se kod njega možemo i osloboditi apsolutne vrednosti, tj. pisati samo [inlmath]\ln\left(y^2+y+1\right)=\frac{x^3}{3}+C[/inlmath], pa je to onda [inlmath]y^2+y+1=e^{\frac{x^3}{3}+C}[/inlmath] a ne [inlmath]y^2+y+1=\pm e^{\frac{x^3}{3}+C}[/inlmath], tako da ti je drugi zadatak OK – uz ovu korekciju koju je Onomatopeja napisao).

Ilija je napisao:[dispmath]4)\enspace(xy+2y)y'=x^2+3x-2[/dispmath][dispmath]\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}-2x+4\ln|x+2|+C\;\Rightarrow\;\enclose{box}{y=\pm\sqrt{x^2{\color{red}-4x}+8\ln|x+2|+C}}[/dispmath]

Ovo crveno ti je pogrešno:
[dispmath]\left(xy+2y\right)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2+3x-2\\
y\left(x+2\right)\mathrm dy=\left(x^2+3x-2\right)\mathrm dx\\
y\mathrm dy=\frac{x^2+3x-2}{x+2}\mathrm dx\\
y\mathrm dy=\left(x+1-\frac{4}{x+2}\right)\mathrm dx\\
\frac{1}{2}\cdot2y\mathrm dy=\left(x+1\right)\mathrm dx-4\frac{\mathrm dx}{x+2}\\
\frac{1}{2}y^2=\frac{\left(x+1\right)^2}{2}-4\ln\left|x+2\right|+c\\
y^2=x^2+2x-8\ln\left|x+2\right|+2c+1\\
y^2=x^2+2x-8\ln\left|x+2\right|+C\\
\enclose{box}{y=\pm\sqrt{x^2{\color{green}+2x}-8\ln\left|x+2\right|+C}}[/dispmath]
uz uslov [inlmath]\min\left(x^2+2x-8\ln\left|x+2\right|\right)+C\ge0[/inlmath] ako se traži da diferencijalna jednačina bude definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath], odakle se nađe minimalna vrednost za [inlmath]C[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod Ilija » Petak, 15. Januar 2016, 23:20

Daniel je napisao:Tačno si dobio [inlmath]\ln\left|2-y^2\right|=\frac{1}{x}+C[/inlmath], međutim, kad si računao eksplicitni oblik, zanemario si apsolutne zagrade:
[dispmath]y_1=\sqrt{2-e^{\frac{1}{x}+C}},\quad y_2=\sqrt{2+e^{\frac{1}{x}+C}}[/dispmath]

Razmisljao sam o apsolutnim vrednostima i nacinu na koji se oslobadjamo ovde. Moracu da povedem racuna o tome. Shvatio sam zasto cemo odbaciti [inlmath]y_1[/inlmath], i kao resenje prihvatiti samo [inlmath]y_2[/inlmath], ali mi nije jasno zasto kad vadimo koren, odnosno izrazavamo preko [inlmath]y[/inlmath], nemamo [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena. Ne treba da se pise?

Daniel je napisao:[dispmath]\enclose{box}{y=\pm\sqrt{x^2{\color{green}+2x}-8\ln\left|x+2\right|+C}}[/dispmath]
uz uslov [inlmath]\min\left(x^2+2x-8\ln\left|x+2\right|\right)+C\ge0[/inlmath] ako se traži da diferencijalna jednačina bude definisana za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath], odakle se nađe minimalna vrednost za [inlmath]C[/inlmath]...

Sto se tice ovog resenja, uradio sam ga tacno, verovatno sam pogresio u kucanju. Izvinjavam se na tome, jer se uvek trudim da proverim napisano.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +1

Re: Nekoliko jednacina koje razdvajaju promenljive

Postod Daniel » Petak, 15. Januar 2016, 23:25

Ilija je napisao:ali mi nije jasno zasto kad vadimo koren, odnosno izrazavamo preko [inlmath]y[/inlmath], nemamo [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena. Ne treba da se pise?

Treba, svakako, to sam bio greškom izostavio, primetio sam to i ja, i bukvalno nekoliko sekundi pre nego što si poslao svoj reply, editovao sam svoj post dodavši to [inlmath]\pm[/inlmath]. :)

Ilija je napisao:Sto se tice ovog resenja, uradio sam ga tacno, verovatno sam pogresio u kucanju. Izvinjavam se na tome, jer se uvek trudim da proverim napisano.

Ne treba da se izvinjavaš, taman posla, samo sam mislio da si uradio pogrešno, pa sam želeo da ti pomognem pokazavši ti ispravan postupak. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 26 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs