Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Diferencijalne jednačine s konstantnim koeficijentima

[inlmath]\left(1+x\right)y\mathrm dx+\left(1-y\right)x\mathrm dy=0[/inlmath]

Diferencijalne jednačine s konstantnim koeficijentima

Postod Gandalf » Ponedeljak, 25. Januar 2016, 23:49

Pozdrav svima.

Imam par pitanja koja me bune, a tiču se nehomogenih diferencijalnih jednačina (drugog reda) sa konstantnim koeficijentima.

~ Primjer
[dispmath]y''+3y'+2y=x\sin x[/dispmath]
~ Rješenja karakteristične homogene jednačine su
[dispmath]r_1=-1\quad i\quad r_2=-2,[/dispmath]
tj.
[dispmath]y_H=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}[/dispmath]
~ Po dobro poznatim pravilima (link) lako je uočiti da su [inlmath]m=0,\;n=1,\;\max\bigl(\text{st}(P_1),\text{st}(P_2)\bigr)=1[/inlmath], a kako [inlmath]m\pm ni[/inlmath] nisu korijeni karakteristične jednačine, onda bi partikularno rješenje izgledalo ovako
[dispmath]y_P=(Ax+B)\cos x+(Cx+D)\sin x[/dispmath]
~ E sad, moja dva pitanjca bi bila

1. Da li sam tačno napisao oblik potencijalnog partikularnog rješenja?

2. Kad tražimo izvode (prvi i drugi) ovog potencijalnog partikularnog rješenja i uvrstimo ih u početnu jednačinu, interesuje me kako grupišemo članove, tj. dobiće se članovi koji sadrže i [inlmath]x,\sin x/\cos x[/inlmath], kao i članovi koji sadrže samo [inlmath]\sin x/\cos x[/inlmath]?

~ Ja sam to grupisao posebno one koji sadrže i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]\sin x/\cos x[/inlmath], i one koji sadže samo trigonometrijsku funkciju i naravno nepoznati koeficijent; tako da se na kraju dobije sistem od 4 jednačine iz kojih sam izračunao nepoznate koeficijente
[dispmath]A=\frac{-3}{10},\quad B=\frac{-1}{50},\quad C=\frac{1}{10},\quad D=\frac{12}{50}[/dispmath]
pa bi partikularno rješenje bilo
[dispmath]y_P=\left(\frac{-3}{10}x-\frac{1}{50}\right)\cos x+\left(\frac{1}{10}x+\frac{12}{50}\right)\sin x[/dispmath]
~ Konačno rješenje bi na kraju izgledalo ovako
[dispmath]y=y_H+y_P=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}+\left(\frac{-3}{10}x-\frac{1}{50}\right)\cos x+\left(\frac{1}{10}x+\frac{12}{50}\right)\sin x[/dispmath]
Bilo kakav konstruktivan komentar ili kritika su dobro došli.

Hvala.
Gandalf  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Diferencijalne jednačine s konstantnim koeficijentima

Postod Ilija » Utorak, 26. Januar 2016, 01:01

Gandalf je napisao:tako da se na kraju dobije sistem od 4 jednačine iz kojih sam izračunao nepoznate koeficijente
[dispmath]A=\frac{-3}{10},\quad B=\frac{-1}{50},\quad C=\frac{1}{10},\quad D=\frac{12}{50}[/dispmath]

Koeficijenti bi trebalo da budu:
[dispmath]A=-\frac{3}{10},\quad B=\frac{17}{50},\quad C=\frac{1}{10},\quad D=\frac{6}{50}[/dispmath]
odnosno konacno resenje:
[dispmath]\enclose{box}{y=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}-\frac{3}{10}x\cos x+\frac{17}{50}\cos x+\frac{1}{10}x\sin x+\frac{6}{50}\sin x}[/dispmath]
Gandalf je napisao:1. Da li sam tačno napisao oblik potencijalnog partikularnog rješenja?

Pa mozes ih ovako grupisati, a mozes ostaviti i negrupisano (uz [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath]).

Gandalf je napisao:2. Kad tražimo izvode (prvi i drugi) ovog potencijalnog partikularnog rješenja i uvrstimo ih u početnu jednačinu, interesuje me kako grupišemo članove, tj. dobiće se članovi koji sadrže i [inlmath]x,\sin x/\cos x[/inlmath], kao i članovi koji sadrže samo [inlmath]\sin x/\cos x[/inlmath]?

Pa najlakse je grupisati onako kako je postavljeno [inlmath]f(x)[/inlmath] (ako je jednacina oblika [inlmath]y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)[/inlmath]), da bi lako mogao da ocitas cemu ce biti jednaka svaka jednacina sa koeficijentima. Jeste da je uopsteno, ali to je sustina.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta


Povratak na DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 26 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 11:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs