Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Naći opšte rešenje diferencijalnih jednačina I i II reda

[inlmath]\left(1+x\right)y\mathrm dx+\left(1-y\right)x\mathrm dy=0[/inlmath]

Naći opšte rešenje diferencijalnih jednačina I i II reda

Postod whodin » Četvrtak, 16. Jun 2016, 16:46

Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine:
[dispmath]a)\;y'=2\left(\frac{y+2}{x+y-1}\right)^2\\
b)\;y''+4y=2+(8x-1)\sin2x[/dispmath]
Kod prve bi trebalo zameniti [inlmath]y'[/inlmath] kao [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/inlmath] i prebaciti sve [inlmath]x[/inlmath] na jednu stranu, a sve [inlmath]y[/inlmath] na drugu. Ali mi uvek ostane neki [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] član na suprotonoj strani i uopšte ne mogu da ih razgraničim.

Kod druge ne znam odakle da počnem pošto nikad nismo radili primere sa [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath], već smo sve rešavali preko ∧
Korisnikov avatar
whodin  OFFLINE
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Naći opšte rešenje diferencijalnih jednačina I i II reda

Postod Onomatopeja » Četvrtak, 16. Jun 2016, 22:11

Ta metoda koju si spomenula (u prvom primeru) koristi se kod diferencijalnih jednacina (prvog reda) koje razdvajaju promenljive. Ali, ova tvoja jednacina nije takva, te se ne moze direktno primeniti spomenuta metoda.

Ali, prva jednacina je diferencijalna jednacina oblika [inlmath]\displaystyle y'=f\Bigl(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\Bigr)[/inlmath] i ona se, u zavisnosti od koeficijenata [inlmath]a,b,c,a_1,b_1,c_1[/inlmath], moze svesti ili na homogenu diferencijalnu jednacinu ili na diferencijalnu jednacinu koja razdvaja promenljive. Pokusaj da nadjes negde u svesci celu tu pricu.

Druga diferencijalna jednacina predstavlja primer nehomogene linearne diferencijalne jednacine drugog reda. Ona se obicno resava tako sto se prvo odredi opste resenje odgovarajuce homogene diferencijalne jednacine, a onda se nadje jedno partikularno resenje nehomogene jednacine (i za to partikularno se, obicno (u normalnijim primerima), zna kako bi trebalo da izgleda). Drugi nacin, umesto trazenja jednog partikularnog, bio bi da se primeni Lagranzova metoda varijacije konstanti.

No, pre toga, meni nije jasno kako ste vi resavali slicne primere? (ovo [inlmath]\land[/inlmath] mi je bas misterija)
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Naći opšte rešenje diferencijalnih jednačina I i II reda

Postod whodin » Petak, 17. Jun 2016, 13:07

Uspela sam da rešim prvu, koristeći determinantu i smenu [inlmath]x=u+\alpha[/inlmath], [inlmath]y=v+\beta[/inlmath]
[dispmath]\beta+2=0\quad\Rightarrow\quad\beta=-2\\
\alpha+\beta-1=0\\
\alpha=3\\
y'=\frac{2(v-2+2)^2}{(u+3+v-2-1)^2}=\frac{2v^2}{(u+v)^2}\\
\left.\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}=\frac{2v^2}{v^2+2vu+u^2}\quad\right/:u^2\\
\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}=\frac{2\frac{v^2}{u^2}}{\frac{v^2}{u^2}+2\frac{v}{u}+1}[/dispmath]
smena: [inlmath]w=\frac{v}{u}[/inlmath]
[dispmath]u\cdot w'+w=\frac{2w^2}{w^2+2w+1}\\
u\frac{\mathrm dw}{\mathrm du}+w=\frac{2w^2}{w^2+2w+1}\\
u\frac{\mathrm dw}{\mathrm du}=\frac{2w^2}{w^2+2w+1}-w\\
u\frac{\mathrm dw}{\mathrm du}=\frac{2w^2-w^3-2w^2-w}{w^2+2w+1}\\
\left.u\frac{\mathrm dw}{\mathrm du}=\frac{-w\left(w^2+1\right)}{(w+1)^2}\quad\right/:\mathrm dw\\
\frac{\mathrm du}{u}=\frac{(w+1)^2\mathrm dw}{-w\left(w^2+1\right)}\\
I=\frac{(w+1)^2}{-w\left(w^2+1\right)}=\frac{A}{-w}+\frac{Bw+C}{w^2+1}=\cdots=\int\frac{1}{-w}\mathrm dw+\int\frac{-2}{w^2+1}\mathrm dw\\
=-\int\frac{1}{w}\mathrm dw-2\int\frac{1}{w^2+1}\mathrm dw\\
=-\ln|w|-2\text{tg}^{-1}w\\
\ln|u|+c=-\ln|w|-2\text{tg}^{-1}w,\;w=\frac{v}{u}=\frac{y+2}{x-3}\\
\ln|uc|=-\ln\left|\frac{v}{u}\right|-2\text{tg}^{-1}\left|\frac{v}{u}\right|\\
\ln|c(y+2)|=-\ln\left|\frac{y+2}{x-3}\right|-2\text{tg}^{-1}\left|\frac{y+2}{x-3}\right|[/dispmath]
a ∧- predstavlja lambdu [inlmath](\lambda)[/inlmath] :D

Kako da rešim ovu drugu ?
imam [inlmath]y''+4y=2+(8x-1)\sin2x[/inlmath]
[inlmath]\lambda^2+4\lambda=0\quad\Rightarrow\quad\lambda_1=0,\;\lambda_2=-4[/inlmath]
Odatle [inlmath]\left\{1,e^{-4x}\right\}[/inlmath]
[inlmath]b(x)=2+(8x-1)\sin2x[/inlmath] Kako odavde da odredim [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath]?
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 17. Jun 2016, 15:01, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija raznih grešaka u Latexu
Korisnikov avatar
whodin  OFFLINE
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Naći opšte rešenje diferencijalnih jednačina I i II reda

Postod Onomatopeja » Petak, 17. Jun 2016, 17:33

Razdvojis na dve jednacine koje imaju nehomogene delove [inlmath]2[/inlmath], odnosno [inlmath](8x-1) \sin 2x[/inlmath], i onda nadjes partikularno prve, tj. druge jednacine. Tada ce partikularno (jedno od) cele pocetne nehomogene jednacine biti zbir ova dva partikularna resenja.

Inace, drugi put malo konkretnija prica, [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i slicno, jer nemam ja pored sebe tvoju svesku (niti znam kako ste radili). [mogu pretpostaviti sta oni predstavljaju, no ne zelim da se bavim gatanjem]
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Naći opšte rešenje diferencijalnih jednačina I i II reda

Postod whodin » Ponedeljak, 20. Jun 2016, 00:03

Hvala na objašnjenju.
Mislila sam na ovu formulu [inlmath]b(x) = e^{\alpha \cdot x } \cdot (P_n(x)\cos\beta \cdot x +Q_m(x)\sin\beta \cdot x)[/inlmath] , pa sam zato napisala [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] .
Korisnikov avatar
whodin  OFFLINE
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Naći opšte rešenje diferencijalnih jednačina I i II reda

Postod Onomatopeja » Ponedeljak, 20. Jun 2016, 05:30

Obrati paznju da u toj formuli imas [inlmath]\cos (\beta x)[/inlmath], a ne [inlmath]\cos \beta \cdot x[/inlmath] (slicno za sinus). Koliko sam razumeo, uspela si da dovrsis zadatak?
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Naći opšte rešenje diferencijalnih jednačina I i II reda

Postod whodin » Ponedeljak, 20. Jun 2016, 22:58

Tako sam napisla da mi ne bi javljalo grešku zbog latexa, i da.
Korisnikov avatar
whodin  OFFLINE
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 26 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs