od Onomatopeja » Subota, 08. Oktobar 2016, 15:22
Kada se trazi integracioni faktor u obliku [inlmath]\lambda = \lambda(w)[/inlmath], gde je [inlmath]w=w(x,y)[/inlmath], onda se obicno dolazi do problema resavanje diferencijalne jednacine
[dispmath]\frac{d \lambda}{\lambda} = \frac{\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}{P \frac{\partial w}{\partial y} - Q \frac{\partial w}{\partial x}} dw[/dispmath] i odatle, posle ubacivanja [inlmath]P,Q,\frac{\partial P}{\partial y}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\partial Q}{\partial x}[/inlmath] je potrebno da se nasluti sta mozemo uzeti za [inlmath]w=w(x,y)[/inlmath] kako bismo posle umeli da izracunamo iz date jednacine i samo [inlmath]\lambda[/inlmath].
Npr. u tvom prvom primeru bismo dobili [dispmath]\frac{d\lambda}{\lambda} = \frac{-4y}{(x+y^2) \frac{\partial w}{\partial y} + 2xy \frac{\partial w}{\partial x}}dw,[/dispmath] te bi trebalo da primetimo da nam ovo [inlmath]x+y^2[/inlmath] malo smeta, sto mozemo premostiti ako namestimo da [inlmath]\frac{\partial w}{\partial y}[/inlmath] nestane, tj. da je [inlmath]w=x[/inlmath] (a i potajno se nadamo da ce se tada ostatak jednacine lepo srediti). Zaista, u tom slucaju dobijamo [inlmath]\displaystyle\frac{d \lambda}{\lambda} = - \frac{2 \,dx}{x}[/inlmath], sto je diferencijalna jednacina koja razdvaja promenljive koju lako resavamo po [inlmath]\lambda[/inlmath].
Pokusaj sam za drugu jednacinu.
U praksi, ili je [inlmath]w(x,y)=x[/inlmath] ili je [inlmath]w(x,y)=y[/inlmath], ili se u tekstu zadatka da koliko je [inlmath]w[/inlmath] (npr. [inlmath]w(x,y)=x^2+y^2[/inlmath]). [moze se desiti i da vam ne daju oblik od [inlmath]w[/inlmath], a da nije jedan od ova prva dva slucaja, no tada je potrebno malo vise vestine]
Inace, zeleo si da kazes [inlmath]\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}[/inlmath], tj. da koristis [inlmath]\partial[/inlmath] umesto [inlmath]d[/inlmath].