Stranica 1 od 1

Integralna kriva date diferencijalne jednačine

PostPoslato: Subota, 02. Septembar 2017, 15:33
od Ilija
Pozdrav svima. Imam problem sa jednim zadatkom sa roka. Naime, u zbirci se daje samo konačno rešenje, a ne vidim da smo na vežbama prošli ovakav zadatak. U knjizi iz analize postoji svega par relativno sličnih, ali ne mogu da ukapiram kako se kasnije postave uslovi za odredjivanje integralne krive.



Zadatak:
Naći onu integralnu krivu diferencijalne jednačine [inlmath]y''-4y=4e^{-2x}[/inlmath] koja ima desnu horizontalnu asimptotu i koja u tački preseka sa [inlmath]y[/inlmath]-osom ima tangentu paralelnu pravoj [inlmath]y=x[/inlmath].
Rešenje:
[inlmath]y=-e^{-2x}(1+x)[/inlmath].

Okej, resim jednačinu i dobijem
[dispmath]y=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}-xe^{-2x}=c_1e^{2x}+(c_2-x)e^{-2x}[/dispmath] Pošto se kaže da ta kriva ima desnu horizontalnu asimptotu, da bi limes uopšte postojao konstanta [inlmath]c_1[/inlmath] mora biti nula, kada je i sam limes jednak nuli, za svako [inlmath]c_2\in\mathbb{R}[/inlmath]. Dalje, tačka preseka krive i [inlmath]y[/inlmath]-ose je [inlmath](0,c_2)[/inlmath], pa sledi da je tangenta, koja je paralelna sa pravom [inlmath]y=x[/inlmath], oblika [inlmath]y_t=x+c_2[/inlmath]. Znamo i to da je jednačina tangente na krivu jednaka i [inlmath]y-y_0=y'(x_0)(x-x0)[/inlmath], što bi u našem slučaju bilo:
[dispmath]y_t=-x+c_2(1-2x)[/dispmath] Sad uporedimo oba izraza za tangentu i dobijemo koliko je [inlmath]c_2[/inlmath]:
[dispmath]x+c_2=-x+c_2(1-2x)\\
\vdots
\\ c_2=-1[/dispmath]
I na kraju imamo da je tangenta krive [inlmath]y_t=x-1[/inlmath], a tražena integralna kriva [inlmath]y=-e^{-2x}(1+x)[/inlmath].



Zanima me da li je postupak tačan, da li se ovo uopšte rešava na ovakav način i da li postoji neko lakše rešenje (u smislu univerzalnije/neki šablon)? :) :thumbs:

Re: Integralna kriva date diferencijalne jednačine

PostPoslato: Subota, 02. Septembar 2017, 15:53
od Daniel
Pozdrav. Da, rešava se tako, s tim što se ovaj deo s tangentom može i jednostavnije uraditi. Nema potrebe određivati tačku preseka krive i [inlmath]y[/inlmath]-ose, niti jednačinu tangente. Dovoljno je iz podatka da kriva u tački preseka s [inlmath]y[/inlmath]-osom ima tangentu paralelnu pravoj [inlmath]y=x[/inlmath] zaključiti da će za [inlmath]x=0[/inlmath] izvod tražene funkcije biti jednak [inlmath]1[/inlmath]. Pošto do tog trenutka znamo da je [inlmath]y=(c_2-x)e^{-2x}[/inlmath], izvod će biti [inlmath]y'=-e^{-2x}-2(c_2-x)e^{-2x}[/inlmath], pa kad uvrstimo [inlmath]x=0[/inlmath] dobije se [inlmath]y'(0)=-1-2c_2=1[/inlmath] i odatle [inlmath]c_2=-1[/inlmath].