Diferencijale jednadžbe

PostPoslato: Utorak, 13. Februar 2018, 13:51
od Anna123
Pozdrav, imam problema oko rješavanja zadatka kojeg ću Vam predložiti.
Inače idem u 4. razred Gimnazije i ovakvi nam se pojavljuju na pismenim zadaćama, ne znam ni od koje teze započeti dokazivati.

Dokažite da funkcija [inlmath]\displaystyle\frac{1}{1+x+\ln x}[/inlmath] nadopunjava diferencijalnu jednadžbu [inlmath]xy'=y(y\ln x-1)[/inlmath].

Hvala, pozdrav.

Re: Diferencijale jednadžbe

PostPoslato: Utorak, 13. Februar 2018, 16:02
od Daniel
Pretpostavljam da nadopunjava znači zadovoljava, tj. da, ako funkciju [inlmath]\displaystyle y=\frac{1}{1+x+\ln x}[/inlmath] uvrstiš u diferencijalnu jednačinu [inlmath]xy'=y(y\ln x-1)[/inlmath], tada će diferencijalna jednačina biti zadovoljena.
Onda, uradi tako. Nađi izvod od [inlmath]\displaystyle\frac{1}{1+x+\ln x}[/inlmath], uvrsti ga umesto [inlmath]y'[/inlmath], a umesto [inlmath]y[/inlmath] uvrsti izraz za samu funkciju, malo sredi izraze i dobićeš da jednakost važi.

Inače, iako nije neophodno u ovom zadatku, spomenuo bih uzgred da data diferencijalna jednačina predstavlja Bernulijevu jednačinu (čiji je postupak rešavanja opisan ovde), a čijim se rešavanjem dobije [inlmath]\displaystyle y=\frac{1}{1+cx+\ln x}[/inlmath], gde je [inlmath]c=\text{const}[/inlmath]. U tekstu ovog zadatka napisano je samo jedno rešenje te jednačine, za slučaj [inlmath]c=1[/inlmath].

Napomena u vezi s pravopisom – nakon zareza i sličnih znakova interpunkcije, obavezno ide razmak pre naredne reči.