Diferencijalna jednačina drugog reda

PostPoslato: Ponedeljak, 07. Oktobar 2019, 01:13
od filiplukic036
Da li biste mogli da mi pomognete da rešim sledeću diferencijalnu jednacinu: :kojik: :kojik: :kojik:
[dispmath]\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}[/dispmath]

Re: Diferencijalna jednačina drugog reda

PostPoslato: Ponedeljak, 07. Oktobar 2019, 01:39
od Daniel
Budući da u jednačini figurišu samo [inlmath]y''[/inlmath] i [inlmath]y'[/inlmath], ovo možeš svesti na diferencijalnu jednačinu prvog reda smenom [inlmath]y'=z[/inlmath]. To bi trebalo da ti dâ neku početnu ideju.

Ubuduće, molim te, tačka 6. Pravilnika.

Re: Diferencijalna jednačina drugog reda

PostPoslato: Ponedeljak, 07. Oktobar 2019, 11:01
od filiplukic036
Da, to je upravo ono što sam uradio, ali kada dodjem do dela kada je potrebno vratiti smenu, tu zastanem. Dakle, do sledeće jednakosti sam došao:
[dispmath]z=\frac{\text{arcsinh}(z)+z\sqrt{z^2+1}}{2}+C[/dispmath]

Re: Diferencijalna jednačina drugog reda

PostPoslato: Ponedeljak, 07. Oktobar 2019, 12:27
od Daniel
Nije ti tu nešto dobro. Bi li pokazao kako si dotle došao?

Re: Diferencijalna jednačina drugog reda

PostPoslato: Ponedeljak, 07. Oktobar 2019, 13:55
od filiplukic036
Evo kako sam radio, mada nisam siguran da je sve tacno:
[dispmath]z'=\sqrt{1+z^2},[/dispmath] nakon integraljenja
[dispmath]z=\int\sqrt{1+z^2}\,\mathrm dz[/dispmath] uvodjenje smene
[dispmath]z=\sinh(u);\;u=\text{arcsinh}(z);\;\mathrm dz=\cosh(u)\,\mathrm du\\
z=\int\sqrt{1+\sinh^2(u)}\cosh(u)\,\mathrm du\\
z=\int\cosh^2(u)\,\mathrm du,[/dispmath] redukciona formula
[dispmath]z=\int\frac{1}{2}\,\mathrm du+\frac{\cosh(u)\sinh(u)}{2}\\
z=\frac{\text{arcsinh}(z)}{2}+\frac{\cosh\bigl(\text{arcsinh}(z)\bigr)\sinh\bigl(\text{arcsinh}(z)\bigr)}{2}\\
z=\frac{\text{arcsinh}(z)}{2}+\frac{z\sqrt{z^2+1}}{2}[/dispmath] Ni meni ne deluje da je to dobro :sad3: :sad3: :kojik: ... ako mozete ukazite mi gde pravim gresku.

Re: Diferencijalna jednačina drugog reda

PostPoslato: Ponedeljak, 07. Oktobar 2019, 23:06
od Daniel
Greška ti je u samom startu:
filiplukic036 je napisao:nakon integraljenja
[dispmath]z=\int\sqrt{1+z^2}\,\mathrm d{\color{red}z}[/dispmath]

Naime, pošto krećeš od [inlmath]z'=\sqrt{1+z^2}[/inlmath], to je zapravo isto što i
[dispmath]\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\sqrt{1+z^2}[/dispmath] pa onda, kad [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] pređe na desnu stranu i kad se integrali, dobije se
[dispmath]\int\sqrt{1+z^2}\,\mathrm d{\color{red}x}[/dispmath] Dakle, ne [inlmath]\mathrm dz[/inlmath], već [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Samim tim, ne mogu se uvoditi smene koje si ti uveo.



Ovde se može vrlo jednostavno uočiti da, ako je [inlmath]z(x)=\sinh x[/inlmath] (izraz [inlmath]\sqrt{1+z^2}[/inlmath] nekako nas „vuče“ na to), tada će leva strana jednačine [inlmath]z'=\sqrt{1+z^2}[/inlmath] biti jednaka [inlmath]\cosh x[/inlmath], a i desna strana jednačine će biti jednaka [inlmath]\cosh x[/inlmath], tj. obe strane će biti jednake, tj. jednačina će biti zadovoljena...