Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Diferencijalne jednadžbe drugog reda

[inlmath]\left(1+x\right)y\mathrm dx+\left(1-y\right)x\mathrm dy=0[/inlmath]
  • +1

Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod eseper » Sreda, 13. Novembar 2013, 13:49

S obzirom da ću se ovim d.j. daleko najviše baviti, u prvom postu evo osnovnih pravila koja se primjenjuju:



a) linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima

- to su d. j. oblika [inlmath]ay''+by'+cy=f(x)[/inlmath]
- ako je [inlmath]f(x)=0[/inlmath] takvu d. j. zovemo homogena, a ako je [inlmath]f(x)\ne0[/inlmath], d. j. je nehomogena


b) homogene linearne d. j. 2. reda s konstantnim koeficijentima
[dispmath]ay''+by'+cy=0[/dispmath]
- rješavamo tako da formiramo karakterističnu jednadžbu [inlmath]ak^2+bk+c=0[/inlmath] i nađemo njene koeficijente [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath]
Ako je:
  • [inlmath]k_1,k_2\in\mathbb{R},\quad k_1\ne k_2\;\Longrightarrow\;y_H=c_1e^{k_1x}+c_2e^{k_2x}[/inlmath]
  • [inlmath]k_1,k_2\in\mathbb{R},\quad k_1=k_2\;\Longrightarrow\;y_H=c_1e^{k_1x}+c_2xe^{k_2x}[/inlmath]
  • [inlmath]k_1,k_2\in\mathbb{C},\quad k_{1,2}=m\pm ni,\;\Longrightarrow\;y_H=e^{mx}(c_1\cos nx+c_2\sin nx)[/inlmath]

c) nehomogene linearne d. j. 2. reda s konstantnim koeficijentima
[dispmath]ay''+by'+cy=f(x)[/dispmath]
- opće rješenje dato je u obliku [inlmath]y=y_H+y_P[/inlmath] gdje je [inlmath]y_H[/inlmath] rješenje pripadne homogene d. j., a [inlmath]y_P[/inlmath] jedno partikularno rješenje nehomogene d. j.
- za neke specijalne oblike funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] možemo primjeniti metodu neodređenih koeficijenata:

  • [inlmath]f(x)=e^{mx}P_n(x)[/inlmath]
      - ako [inlmath]m[/inlmath] nije korijen karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=e^{mx}Q_n(x)[/inlmath]
      - ako je [inlmath]m[/inlmath] korijen karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=x^\alpha e^{mx}Q_n(x)[/inlmath], gdje je [inlmath]\alpha[/inlmath] kratnost od [inlmath]m[/inlmath] kao korijena karakteristične jednadžbe

  • [inlmath]f(x)=e^{mx}[P_1(x)\cos nx+P_2(x)\sin nx][/inlmath]
      - ako [inlmath]m\pm ni[/inlmath] nisu korijeni karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=e^{mx}[Q_1(x)\cos nx+Q_2(x)\sin nx][/inlmath] gdje je [inlmath]\text{st}(Q_1)=\text{st}(Q_2)=\max\left(\text{st}(P_1),\text{st}(P_2)\right)[/inlmath]
      - ako su [inlmath]m\pm ni[/inlmath] korijeni karakteristične jednadžbe: [inlmath]y_P=xe^{mx}[Q_1(x)\cos nx+Q_2(x)\sin nx][/inlmath]

- nakon što pretpostavimo oblik rješenja [inlmath]y_P[/inlmath], odredimo [inlmath]y'_P[/inlmath] te [inlmath]y''_P[/inlmath] koje uvrstimo u početnu d. j. iz čega dobijemo neodređene koeficijente


d) metoda varijacije konstanti

- ako funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] ne pripada prethodno navedenim oblicima, za dobivanje [inlmath]y_P[/inlmath] primjenjuje se metoda varijacije konstanti
- ako je [inlmath]y_H=c_1y_1+c_2y_2[/inlmath] rješenje pripadne homogene, tada je opće rješenje dato u obliku [inlmath]y=c_1(x)y_1+c_2(x)y_2[/inlmath]
- nepoznate funkcije [inlmath]c_1(x)[/inlmath] i [inlmath]c_2(x)[/inlmath] određuju se iz sustava jednadžbi

    [inlmath]c_1'(x)y_1+c_2'(x)y_2=0[/inlmath]
    [inlmath]c_1'(x)y_1'+c_2'(x)y_2'=f(x)[/inlmath]



Ako neko ima nešto za oduzeti ili dodati, slobodno.
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod eseper » Subota, 16. Novembar 2013, 22:58

[inlmath]1)[/inlmath]
Odredite opće rješenje d. j.
[dispmath]y''-2y'=e^{2x}+5[/dispmath]


[inlmath]y=y_H+y_P[/inlmath]

homogeno:
[inlmath]y''-2y'=0\\
k^2-2k=0\\
k(k-2)=0\\
k_1=0,\;\;k_2=2[/inlmath]
[dispmath]y_H=c_1+c_2e^{2x}[/dispmath]
partikularna:
dva slučaja, prvi [inlmath]f_1(x)=e^{2x}[/inlmath]
[inlmath]n=0,\;m=2[/inlmath]
obzirom da je [inlmath]m=k_2,\;m[/inlmath] je korjen karakteristične jednadžbe slijedi
[inlmath]y_{P_1}=x^\alpha e^{mx}Q_n (x),\;\;\alpha=1[/inlmath]
i sada
[inlmath]y_{P_1}=x\cdot{\color{red}A}e^{2x}[/inlmath] pa prva i druga derivacija što nije problem.
Pitanje je vezano uz ovo crveno označeno [inlmath]A[/inlmath]. Nije mi jasno na temelju čega se to odredi. Imam jedan zadatak u kome stoji [inlmath]y_P=xe^0\left({\color{red}Ax^2+Bx+C}\right)[/inlmath]

Isti postupak se napravi i za [inlmath]f_2(x)=5[/inlmath] (i opet imam to jedno [inlmath]A[/inlmath]). Na kraju se sve dobiveno uvrsti u [inlmath]y=y_H+y_{P_1}+y_{P_2}[/inlmath]
Zapravo jedini problem u ovom zadatku mi predstavlja slovo [inlmath]A[/inlmath] :mrgreen:

[inlmath]2)[/inlmath]
Zanima me kako sigurno prepoznati da li se zadatak rješava postupkom za nehomogene d.j. 2. reda ili metodom varijacije konstanti. Po čemu se to zaključi? Također bih volio znati i trikove koji se najčešće upotrebljavaju kako bi se navelo na krivi način rješavanja (jer nam takvi zadaci uvijek dolaze). Nekoliko primjera:
[inlmath](a)\;y''-2y'+y=e^xx^{-1}\\
(b)\;y''-2y'=x^2-x\\
(c)\;y''-9y=e^{3x}\cos x\\
(d)\;y''-4y'+3y=\frac{e^x}{e^x+1}[/inlmath]

Kako odmah prepoznati?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod Daniel » Nedelja, 17. Novembar 2013, 15:51

[inlmath]\left.1\right)[/inlmath] Odrediš prvi i drugi izvod partikularnog rešenja:
[dispmath]y_{P_1}=Axe^{2x}[/dispmath][dispmath]y_{P_1}'=Ae^{2x}+2Axe^{2x}=A\left(2x+1\right)e^{2x}[/dispmath][dispmath]y_{P_1}''=2Ae^{2x}+2A\left(2x+1\right)e^{2x}=4A\left(x+1\right)e^{2x}[/dispmath]
i zatim ih uvrstiš u jednačinu [inlmath]y''-2y'=e^{2x}[/inlmath], kako bi odredio [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]y_{P_1}''-2y_{P_1}'=e^{2x}[/dispmath][dispmath]4A\left(x+1\right)e^{2x}-2A\left(2x+1\right)e^{2x}=e^{2x}[/dispmath][dispmath]\cancel{4Axe^{2x}}+4Ae^{2x}-\cancel{4Axe^{2x}}-2Ae^{2x}=e^{2x}[/dispmath][dispmath]2Ae^{2x}=e^{2x}[/dispmath][dispmath]2A=1[/dispmath][dispmath]A=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad y_{P_1}=\frac{1}{2}xe^{2x}[/dispmath]
Isto tako i za [inlmath]y_{P_2}[/inlmath], kod kojeg bi trebalo da dobiješ da je [inlmath]A=-\frac{5}{2}[/inlmath].

[inlmath]\left.2\right)[/inlmath]
eseper je napisao:Nekoliko primjera:
[inlmath](a)\;y''-2y'+y=e^xx^{-1}\\
(b)\;y''-2y'=x^2-x\\
(c)\;y''-9y=e^{3x}\cos x\\
(d)\;y''-4y'+3y=\frac{e^x}{e^x+1}[/inlmath]

Kako odmah prepoznati?

Prepoznaš lepo da li se funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] može uklopiti u neki od ona dva oblika koja si napisao u svom prvom postu u ovoj temi: [inlmath]f\left(x\right)=e^{mx}P_n\left(x\right)[/inlmath] ili [inlmath]f\left(x\right)=e^{mx}\left[P_1\left(x\right)\cos nx+P_2\left(x\right)\sin nx\right][/inlmath] (u tom slučaju radiš po priloženom postupku za dati slučaj), a ako se ne može napisati ni u jednom od ta dva oblika, radiš metodom varijacije konstanti. Konkretno:

[inlmath]\left(a\right)\; y''-2y'+y=e^x x^{-1}[/inlmath] – ovo [inlmath]x^{-1}[/inlmath] nije moguće napisati ni kao polinom, ni kao trigonometrijsku funkciju, prema tome, radi se metodom varijacije konstanti;
[inlmath]\left(b\right)\; y''-2y'=x^2-x[/inlmath] – sa desne strane znaka jednakosti imamo polinom drugog stepena po [inlmath]x[/inlmath]; nemamo član [inlmath]e^mx[/inlmath], ali možemo pretpostaviti kao da ga imamo ali da je [inlmath]m=0[/inlmath], tako da je taj član jednak jedinici i ne piše se; znači, [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] se može napisati u obliku [inlmath]e^{mx}P_n\left(x\right)[/inlmath], gde je [inlmath]m=0,\;P_n\left(x\right)=x^2-x[/inlmath];
[inlmath]\left(c\right)\; y''-9y=e^{3x}\cos x[/inlmath] – [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] se može napisati u obliku [inlmath]e^{mx}[P_1\left(x\right)\cos nx + P_2\left(x\right)\sin nx][/inlmath], pri čemu je [inlmath]m=3[/inlmath], a [inlmath]P_1\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]P_2\left(x\right)[/inlmath] su polinomi nultog stepena, gde je [inlmath]P_1\left(x\right)=1[/inlmath], a [inlmath]P_2\left(x\right)=0[/inlmath];
[inlmath]\left(d\right)\; y''-4y'+3y=\frac{e^x}{e^x+1}[/inlmath] – ovde funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] nije moguće napisati ni u obliku polinoma, ni u obliku trigonometrijskih funkcija, pa se i ovo, kao i pod [inlmath]\left(a\right)[/inlmath], radi metodom varijacije konstanti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8381
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4455 puta

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod eseper » Nedelja, 17. Novembar 2013, 20:48

[inlmath]1)[/inlmath]
Mislim da se nismo najbolje razumjeli ;) Znam kako dobiti vrijednost varijable [inlmath]A[/inlmath], ali mi nije jasno zašto se u početnoj jednadžbi pojavilo samo [inlmath]A[/inlmath], a ne npr. kao u drugom slučaju [inlmath]Ax^2+Bx+C[/inlmath] (oboje označeno crveno). :)

[inlmath]2)[/inlmath]
To mi je nadam se jasno, ali vidjet ću još kroz zadatke... :) Ne bi trebalo biti problema.
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod Daniel » Nedelja, 17. Novembar 2013, 21:15

eseper je napisao:[inlmath]1)[/inlmath]
Mislim da se nismo najbolje razumjeli ;) Znam kako dobiti vrijednost varijable [inlmath]A[/inlmath], ali mi nije jasno zašto se u početnoj jednadžbi pojavilo samo [inlmath]A[/inlmath], a ne npr. kao u drugom slučaju [inlmath]Ax^2+Bx+C[/inlmath] (oboje označeno crveno). :)

A, to... Sorry, evo sad će onda novo objašnjenjce, koje se odnosi upravo na to što si pitao. :mrgreen:

Znači, kao što si prethodno i napisao,
[inlmath]y_{P_1}=x^\alpha e^{mx}Q_n\left(x\right),\;\;\alpha=1,\;\;n=0,\;\;m=2[/inlmath]
[inlmath]n[/inlmath] predstavlja stepen polinoma [inlmath]Q_n\left(x\right)[/inlmath], a pošto je taj stepen jednak nuli, polinom [inlmath]Q_n\left(x\right)[/inlmath] je, zapravo, konstanta. Konstanta, koju smo označili sa [inlmath]A[/inlmath]. Da je to polinom prvog stepena, bio bi [inlmath]Ax+B[/inlmath], da je drugog stepena bio bi [inlmath]Ax^2+Bx+C[/inlmath] itd.



Za razliku od ovog zadatka, u kojem smo imali samo konstantu [inlmath]A[/inlmath], u zadatku koji si naveo pod [inlmath]\left(b\right)[/inlmath], koji glasi [inlmath]y''-2y'=x^2-x[/inlmath], imali bismo sledeće:
[inlmath]y''-2y'=f\left(x\right),\;\;f\left(x\right)=e^{mx}P_n\left(x\right),\;\;P_n\left(x\right)=x^2-x[/inlmath],
pa je [inlmath]m=0,\;\;n=2[/inlmath] i, pošto bi se dobilo da je [inlmath]0[/inlmath] jedno od rešenja karakteristične jednačine, a to je i vrednost [inlmath]m[/inlmath], tj. [inlmath]m[/inlmath] je jedno od rešenja karakteristične jednačine, primenjujemo formulu [inlmath]y_P=x^\alpha e^{mx}Q_n\left(x\right),\;\;\alpha=1[/inlmath], pa imamo
[inlmath]y_P=xe^{0\cdot x}\left(Ax^2+Bx+C\right)[/inlmath],
jer je [inlmath]n=2[/inlmath], pa je polinom [inlmath]Q_n\left(x\right)[/inlmath] polinom drugog stepena, tj. jednak je [inlmath]Ax^2+Bx+C[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8381
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4455 puta

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod eseper » Nedelja, 17. Novembar 2013, 21:18

Odlično, i to smo razjasnili :text-thankyouyellow:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod eseper » Subota, 23. Novembar 2013, 13:46

Metodom varijacije konstanti odredite rješenje diferencijalne jednadžbe
[dispmath]y''+2y'+y=\sqrt{x}e^{-x}[/dispmath]
Za homogenu dobijem [inlmath]k_1=k_2=-1[/inlmath]
[dispmath]y_H=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}[/dispmath]
Moje konačno rješenje zadatka bit će u obliku
[dispmath]y=c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}[/dispmath]
Cilj mi je naći [inlmath]c_1(x)[/inlmath] i [inlmath]c_2(x)[/inlmath] kako bi to mogao uvrstiti i dobiti rezultat. Te jednadžbe sam postavio onako kako je opisano u prvom postu. Iz prve sam izrazio: [inlmath]c_1'(x)=-c_2'x[/inlmath] i uvrstio u drugu. Dobijem da je [inlmath]c_2'=\frac{\sqrt{x}}{e^{-2x}}[/inlmath] i sada na to djelujem integralom da bih dobio [inlmath]c_2[/inlmath]. Međutim, kako mi se ovaj integral malo čini kompliciran za ovaj tip zadatka, obzirom da bit nije na integriranju, jesam li negdje falio, tj. dobije li se zaista [inlmath]c_2'[/inlmath] identično mojem?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod Daniel » Subota, 23. Novembar 2013, 14:10

Ne dobije se. :nene:
[dispmath]\begin{array}{ll}
c_1'\left(x\right)e^{-x}+c_2'\left(x\right)xe^{-x}=0 \\
c_1'\left(x\right)\left(e^{-x}\right)'+c_2'\left(x\right)\left(xe^{-x}\right)'=\sqrt xe^{-x}
\end{array}[/dispmath][dispmath]\begin{array}{ll}
c_1'\left(x\right)e^{-x}=-c_2'\left(x\right)xe^{-x} \\
-c_1'\left(x\right)e^{-x}+c_2'\left(x\right)\left(e^{-x}-xe^{-x}\right)=\sqrt xe^{-x}
\end{array}[/dispmath][dispmath]\cancel{c_2'\left(x\right)xe^{-x}}+c_2'\left(x\right)e^{-x}-\cancel{c_2'\left(x\right)xe^{-x}}=\sqrt xe^{-x}[/dispmath][dispmath]c_2'\left(x\right)\cancel{e^{-x}}=\sqrt x\cancel{e^{-x}}[/dispmath][dispmath]c_2'\left(x\right)=\sqrt x[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8381
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4455 puta

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod eseper » Subota, 23. Novembar 2013, 14:51

Jao jao, te moje greške.. :bonk:
[dispmath]c_1(x)=-\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}[/dispmath]
Konačno:
[dispmath]y=\frac{4}{15}x^{\frac{5}{2}}e^{-x}+Be^{-x}+Axe^{-x}[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Diferencijalne jednadžbe drugog reda

Postod Daniel » Subota, 23. Novembar 2013, 18:52

Yup. :mhm:
E sad, da se moj post ne bi sveo na samo tri slova, :P evo i postupka provere dobijenog rezultata, koji ti preporučujem da uradiš svaki put kad nisi siguran u svoj rezultat, a nije zgoreg da ga uradiš čak i onda kad si siguran, ako imaš vremena na raspolaganju. I preporuka je da to uradiš u Latex-u, jer se uz upotrebu copy/paste metode to uradi mnooogo brže nego na papiru. ;)
[dispmath]y=\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}e^{-x}+Be^{-x}+Axe^{-x}[/dispmath][dispmath]y=\left(\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+B+Ax\right)e^{-x}[/dispmath]
[dispmath]y'=\left(\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+B+Ax\right)'e^{-x}-\left(\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+B+Ax\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y'=\left(\frac{4}{15}\cdot\frac{5}{2}x^\frac{3}{2}+A\right)e^{-x}-\left(\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+B+Ax\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y'=\left(\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+A-B-Ax\right)e^{-x}[/dispmath]
[dispmath]y''=\left[\left(\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+A-B-Ax\right)e^{-x}\right]'[/dispmath][dispmath]y''=\left(\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+A-B-Ax\right)'e^{-x}-\left(\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+A-B-Ax\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y''=\left(\frac{\cancel 2}{\cancel 3}\cdot\frac{\cancel 3}{\cancel 2}x^\frac{1}{2}-\frac{4}{15}\cdot\frac{5}{2}x^\frac{3}{2}-A\right)e^{-x}-\left(\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+A-B-Ax\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y''=\left(\sqrt x-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-A\right)e^{-x}-\left(\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+A-B-Ax\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y''=\left(\sqrt x-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-A-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}-A+B+Ax\right)e^{-x}[/dispmath][dispmath]y''=\left(\sqrt x-\frac{4}{3}x^\frac{3}{2}+\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}-2A+B+Ax\right)e^{-x}[/dispmath]
[dispmath]y''+2y'+y=\left(\sqrt x-\frac{4}{3}x^\frac{3}{2}+\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}-2A+B+Ax\right)e^{-x}+[/dispmath][dispmath]+2\left(\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}-\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+A-B-Ax\right)e^{-x}+\left(\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}+B+Ax\right)e^{-x}=[/dispmath][dispmath]=\left(\sqrt x-{\color{#CC0000}\cancel{\frac{4}{3}x^\frac{3}{2}}}+{\color{#008800}\cancel{\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}}}-{\color{#880088}\cancel{2A}}+{\color{#0000FF}\cancel B}+{\color{#0088CC}\cancel{Ax}}+{\color{#CC0000}\cancel{\frac{4}{3}x^\frac{3}{2}}}-{\color{#008800}\cancel{\frac{8}{15}x^\frac{5}{2}}}+{\color{#880088}\cancel{2A}}-{\color{#0000FF}\cancel{2B}}-{\color{#0088CC}\cancel{2Ax}}+{\color{#008800}\cancel{\frac{4}{15}x^\frac{5}{2}}}+{\color{#0000FF}\cancel B}+{\color{#0088CC}\cancel{Ax}}\right)e^{-x}=[/dispmath][dispmath]=\sqrt xe^{-x}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8381
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4455 puta

Sledeća

Povratak na DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 24. Septembar 2020, 05:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs