Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Diferencijalne jednačine prvog reda

[inlmath]\left(1+x\right)y\mathrm dx+\left(1-y\right)x\mathrm dy=0[/inlmath]

Diferencijalne jednačine prvog reda

Postod Milovan » Ponedeljak, 03. Februar 2014, 19:05

Neka je [inlmath]f[/inlmath] funkcija koja preslikava podskup iz [inlmath]\mathbb{R}^{n+1}[/inlmath] u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] i neka je [inlmath]y[/inlmath] (koja preslikava [inlmath](a, b)\to\mathbb{R}[/inlmath]) nepoznata, [inlmath]n[/inlmath]-puta diferencijabilna funkcija.

Jednačinu [inlmath]f\left(x,y(x),y'(x),y''(x),\ldots ,y^{(n)}(x)\right)=0[/inlmath] nazivamo diferencijalnom jednačinom [inlmath]n[/inlmath]-tog reda.

* Jednačina [inlmath]y'(x)=2x[/inlmath] je diferencijalna jednačina prvog reda.
* Jednačina [inlmath]y''(x)=2x[/inlmath] je diferencijalna jednačina drugog reda.
* Jednačina [inlmath]y'''(x)=2x[/inlmath] je diferencijalna jednačina trećeg reda.
Itd.


Rešenje diferencijalne jednačine je takva funkcija [inlmath]g(x)[/inlmath] koja zamenom u tu jednačinu daje identitet:
[dispmath]f\left(x,g(x),g'(x),g''(x),\ldots ,g^{(n)}(x)\right)=0[/dispmath]
Funkcije [inlmath]y=x^2[/inlmath], [inlmath]y=x^2+1[/inlmath] i [inlmath]y=x^2+2[/inlmath] su neka od rešenja jednačine [inlmath]y' (x)=2x[/inlmath].

U opštem slučaju diferencijalna jednačina prvog reda ima sledeći oblik (naravno, podrazumeva se da se prvi izvod efektivno pojavljuje):
[dispmath]f\left(x,y(x),y'(x)\right)=0[/dispmath]
za [inlmath]x\in (a,b)[/inlmath]

Rešenje ove jednačine je svaka funkcija [inlmath]x\to y(x)[/inlmath] koja jednačinu [inlmath]f\left(x,y(x),y'(x)\right)=0[/inlmath] pretvara u identitet za [inlmath]x\in (a, b)[/inlmath].

Rešenje može biti u raznim oblicima: [inlmath]y=y(x)[/inlmath], [inlmath]x=x(y)[/inlmath] ili [inlmath]g(x,y)=0[/inlmath]

Rešenje nekih jednačina se ne može izraziti pomoću elementarnih funkcija. Neke jednačine imaju neelementarna rešenja – definisana sa [inlmath]y'=f(x)[/inlmath]. Rešenje izraženo na ovaj način nazivamo rešenjem sa kvadraturom. Povrh svega, postoje rešenja koja se ne mogu izraziti ni preko elementarnih funkcija ni preko njihovih integrala. Takve jednačine se obično rešavaju numeričkim metodama.

Neka je [inlmath]c[/inlmath] proizvoljna konstatna. Opšte rešenje diferencijalne jednačine prvog reda je svaka funkcija [inlmath]y=y(x)[/inlmath] koja za [inlmath]x\in (a,b)[/inlmath] daje jednakost
[dispmath]g(x,y,c)=0[/dispmath]
pri čemu važe sledeći uslovi:
– [inlmath]y=y(x)[/inlmath] je rešenje diferencijalne jednačine na [inlmath](a,b)[/inlmath]
– eliminacijom konstante [inlmath]c[/inlmath] iz [inlmath]g(x,y,c)=0[/inlmath] i izvodne jednakosti dolazi se samo do jednačine [inlmath]f\left(x,y(x),y'(x)\right)=0[/inlmath].

Opšte rešenje ne mora da sadrži sva rešenja diferencijalne jednačine.

Rešenje koje se dobija iz opšteg za razne vrednosti konstante [inlmath]c[/inlmath] naziva se partikularno.
Rešenje koje se ne može dobiti iz opšteg, ni za jednu vrednost navedene konstante, nazivamo singularnim.



Diferencijalna jednačina u opštem slučaju može imati mnoštvo rešenja. S tim u vezi, uz zadate početne uslove, neka se mogu odbaciti. Za diferencijalnu jednačinu [inlmath]n[/inlmath]-tog reda se u tom smislu definiše Košijev problem:
Za diferencijalnu jednačinu oblika [inlmath]f\left(x,y(x),y'(x),y''(x),\ldots ,y^{(n)}(x)\right)=0[/inlmath] treba naći ono rešenje koje ispunjava sledeće zadate uslove:
[dispmath]y(x_0)=a_1,\;y'(x_0)=a_2,\ldots ,\;y^{(n-1)}(x_0)=a_n[/dispmath]
Rešenje koje zadovoljava zadate uslove nazivamo Košijevim.

U geometrijskoj interpretaciji, svako rešenje diferencijalne jednačine predstavlja krivu u Dekartovom koordinatnom sistemu. Rešavanje diferencijalne jednačine je, dakle, tada traženje odgovarajuće integralne krive.



Za diferencijalnu jednačinu prvog reda Košijev problem bi se sveo na nalaženje rešenja jednačine
[inlmath]f\left(x,y(x),y'(x)\right)=0[/inlmath] uz zadato [inlmath]y(x_0)=a_1[/inlmath]

U geometrijskom smislu, Košijev problem je u tom slučaju svodljiv na traženje integralne krive koja prolazi kroz tačku [inlmath](x_0,a_1)[/inlmath].


Metode rešavanja



*Jednačina [inlmath]y'(x)=f(x)[/inlmath] se jednostavno rešava integracijom. Kako je:
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x)[/dispmath][dispmath]\mathrm dy=f(x)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]y=\int\limits_{x_0}^x f(x)\mathrm dx+C[/dispmath]
*Razdvajanje promenljivih
Nešto opštije od prethodnog, za zadatu jednačinu
[dispmath]f(x)\mathrm dx+f(y)\mathrm dy=0[/dispmath]
integracija daje
[dispmath]\int\limits_{x_0}^x f(x)\mathrm dx+\int\limits_{y_0}^y f(y)\mathrm dy=C[/dispmath]
Primer:
Jednačina [inlmath]x^2y\mathrm dx+\mathrm dy=0[/inlmath] se lako dovede na
[dispmath]x^2\mathrm dx+\frac{\mathrm dy}{y}=0[/dispmath]
Nakon toga, treba integrisati celu jednakost.

***


*Homogena jednačina
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)[/dispmath]
Takve jednačine se rešavaju smenom
[inlmath]u=\frac{y}{x}[/inlmath]

Tada je [inlmath]y=ux,\;y'(x)=u+xu'[/inlmath]

Otuda je onda:
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=u+xu'=f\left(\frac{y}{x}\right)[/dispmath][dispmath]xu'=f(u)-u[/dispmath]
Ovo se dalje može rešiti razdvajanjem promenljivih.


Primer:
[inlmath]xy'=2y[/inlmath]
***



U nešto opštijem slučaju, za [inlmath]{a_1}^2+{ b_1}^2\neq 0[/inlmath] i [inlmath]{a_2}^2+{ b_2}^2\neq 0[/inlmath] :
[dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)[/dispmath]
– Kada je [inlmath]c_1=c_2=0[/inlmath], jednačina se svodi na homogenu. Jednačina se može svesti na homogenu i u nekim slučajevima kada to nije ispunjeno – pogodnim smenama koje anuliraju slobodne članove.
– Ako su oba koeficijenta uz [inlmath]x[/inlmath] ili oba koeficijenta uz [inlmath]y[/inlmath] jednaki nuli, jednačina se svodi na jednačinu koja razdvaja promenljive.



Linearna jednačina:
Oblika je [inlmath]y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)[/inlmath]

Množenjem cele jednačine sa [inlmath]e^{\int P(x)\mathrm dx}[/inlmath]:
[dispmath]y'(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}+P(x)y(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}=Q(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}[/dispmath][dispmath]\left(y(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}\right)'=Q(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}[/dispmath]
Otuda, integracijom:
[dispmath]y(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}\mathrm dx+C[/dispmath]
Odatle se lako može izraziti [inlmath]y(x)[/inlmath].

Opšte rešenje linearne diferencijalne jednačine prvog reda je, dakle:
[dispmath]y(x)=\frac{\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}\mathrm dx+C}{e^{\int P(x)\mathrm dx}}[/dispmath]
Primer:
[inlmath]y'(x)+x^2y(x)=x^3[/inlmath]

***


Bernulijeva jednačina
Oblika je:
[dispmath]y'(x)+P(x)y(x)=Q(x)y^n(x)[/dispmath]
Svodi se na linearnu smenom [inlmath]z=y^{1-n}[/inlmath].

Primer:
[inlmath]y'(x)+x^2y(x)=(xy)^3[/inlmath]

***


*Rikatijeva jednačina
Oblika je:
[dispmath]y'=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)[/dispmath]
U opštem slučaju nije rešiva preko kvadratura. Ako je poznato jedno partikularno rešenje [inlmath]y_1[/inlmath], onda se smenom [inlmath]y=y_1+\frac{1}{z}[/inlmath] svodi na linearnu, gde je [inlmath]z[/inlmath] neka funkcija [inlmath]x[/inlmath] (koju treba odrediti preko linearne diferencijalne jednačine). Kada se odredi to rešenje, vrati se u jednakost:
[dispmath]y(x)=y_1+\frac{1}{z}[/dispmath]
Primer:
[inlmath]y'=x^2y^2+xy+6x^2[/inlmath]

***


*Lagranžova jednačina

Oblika je:
[dispmath]y=xf(y')+\phi(y')[/dispmath]
Smenom [inlmath]y'=t[/inlmath] ona postaje:
[dispmath]y=xf(t)+\phi(t)[/dispmath]
Diferenciranjem po [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]y'=t=f(t)+xf'(t)\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}+\phi '\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}[/dispmath]
Otuda je:
[dispmath]\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+x\frac{f'(t)}{f(t)-t}=\frac{\phi '(t)}{t-f(t)}[/dispmath]
Tako se dobija linearna jednačina po [inlmath]x[/inlmath]. Nakon rešavanja iste ostaje da se vrasti smena.

Primer:
[inlmath]y=2xy'+3y'[/inlmath]

***


*Klerova jednačina
Oblika je:
[dispmath]y=xy'+\phi (y')[/dispmath]
Kao i kod Lagranžove, smena je [inlmath]y'=t[/inlmath]
[dispmath]y=xt+\phi (t)[/dispmath]
Diferenciranjem:
[dispmath]y'=t=t+xt'+\phi '(t)t'[/dispmath][dispmath]0=xt'+\phi '(t)t'[/dispmath][dispmath]0=t'\left(x+\phi '(t)\right)[/dispmath]
Odatle je ili [inlmath]t'=0[/inlmath] ili [inlmath]x+\phi '(t)=0[/inlmath].

Prvi uslov daje opšte rešenje. Kada se drugi iskoristi, dobije se i singularno rešenje.

Primer:
[inlmath]y=xy'+y'^3[/inlmath]

***


*Totalni diferencijal
Da je u totalnom diferencijalu kažemo za jednačinu oblika:
[dispmath]P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0[/dispmath]
[inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] su funkcije definisane na [inlmath](a,b)\times (c,d)[/inlmath] čiji su parcijalni izvodi (do drugog reda) neprekidni, a za svako [inlmath]x\in (a,b),\;y\in (c,d)[/inlmath] važi [inlmath]\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}[/inlmath]

Ideja je da se pronađe funkcija takva da je
[dispmath]P(x,y)=\frac{\partial{f(x, y)}}{\partial{x}}[/dispmath]
i
[dispmath]Q(x,y)=\frac{\partial{f(x, y)}}{\partial{y}}[/dispmath]
Time se jednačina svodi na [inlmath]\mathrm df(x,y)=0[/inlmath]
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 701 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 25. Septembar 2020, 11:00 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs