Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Integral po krivoj gama

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Integral po krivoj gama

Postod matija » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 17:12

[dispmath]\int_\gamma\frac{e^z}{z(1-z)^3}\,\mathrm dz[/dispmath] gde je kontura [inlmath]\gamma(t)=2\cos(t)+i\sin(t)[/inlmath]

Posto funkcija nije definisana u tkama [inlmath]0,1[/inlmath] koristi se Kosijeva integralna formula. Da bih dobio dve zatvorene Zordanove krive uzeo sam liniju [inlmath]\gamma_2=-\gamma_4=x=\frac{1}{2}[/inlmath] (gde je [inlmath]\gamma_2[/inlmath] ide ka "dole" a [inlmath]\gamma_4[/inlmath] ka "gore ") i time podelio zadatu elipsu po kojoj radimo integral uz oznaku da mi je [inlmath]\gamma_3[/inlmath] levi deo elipse koji koristi tu duz i pozitivno je orijentisana a [inlmath]\gamma_1[/inlmath] je desni deo elipse koji koristi istu tu duz da bude poz orijentisana kriva. pa se onda integral svede na [inlmath]\int_\gamma\mathrm dz=\int_{\gamma_3\cup\gamma_4}\mathrm dz+\int_{\gamma_1\cup\gamma_2}\mathrm dz[/inlmath]

sada racunam, gde je [inlmath]g_1(z)=\frac{e^z}{(1-z)^3}[/inlmath], [inlmath]\int_{\gamma_3\cup\gamma_4}\frac{g_1(z)}{(z-0)^1}\,\mathrm dz=g_1^{(0)}(0)2i\pi=2i\pi[/inlmath]
slicno za drugi, gde je [inlmath]g_2(z)=\frac{e^z}{-z}[/inlmath], [inlmath]\int_{\gamma_1\cup\gamma_2}\frac{g_2(z)}{(z-1)^3}\,\mathrm dz=g_2^{(2)}(1)\frac{2i\pi}{2!}=-e[/inlmath], pa krajnje resenje mi bude [inlmath](2-e)i\pi[/inlmath], da li bi neko mogao da mi proveri ovo resenje? Drugo pitanje ja sam [inlmath]g_2(z)[/inlmath] diferencirao po pravilima za diferenciranje fja realnih promenljivih jedino nisam siguran da li pravilo za diferenciranja kolicnika fja vazi i za kompleksne fje (izmena1: vazi isto pravilo, tako da nisam siguran ako sam pogresio u zadatku).

Hvala unapred
matija  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 21 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Integral po krivoj gama

Postod Onomatopeja » Utorak, 05. Decembar 2017, 22:28

Dobro si izracunao, s tim da je [inlmath]g_2^{(2)}(1)=-e[/inlmath], pa je taj drugi integral [inlmath]-\pi ie[/inlmath] (neka negativna pita). No vidi se da si to ispustio u kucanju, jer ti si konacno resenje dobro napisao. Takodje, verujem da je u zadatku pisalo da se parametar krece kao [inlmath]0\le t\le2\pi[/inlmath], odnosno od nula ka [inlmath]2\pi[/inlmath] (tj. da je ovo pozitivno orijentisana kriva, posto je ovde bitna orijentacija).

Da, vazi isto pravilo za diferenciranje. Tacnije, vazi sledece:

- ako [inlmath]f,g\in\mathcal{H}(\Omega)[/inlmath], tada [inlmath]f+g\in\mathcal{H}(\Omega)[/inlmath] i [inlmath]fg\in\mathcal{H}(\Omega)[/inlmath]
- ako je [inlmath]f\in\mathcal{H}(\Omega)[/inlmath], [inlmath]f(\Omega)\subset\Omega_1[/inlmath], [inlmath]g\in\mathcal{H}(\Omega_1)[/inlmath] i [inlmath]h=g\circ f[/inlmath], tada je [inlmath]h\in\mathcal{H}(\Omega)[/inlmath] i [inlmath]h'(z)=g'(f(z))f'(z)[/inlmath]

Odatle nalazimo, kombinujuci i uzimajuci u drugom tvrdjenju funkciju [inlmath]g(w)=\frac{1}{w}[/inlmath]: ako su [inlmath]f_1[/inlmath] i [inlmath]f_2[/inlmath] u [inlmath]\mathcal{H}(\Omega)[/inlmath] i [inlmath]\Omega_0[/inlmath] otvoren podskup [inlmath]\Omega[/inlmath], na kome [inlmath]f_2[/inlmath] nema nula, tada je [inlmath]\frac{f_1}{f_2}\in\mathcal{H}(\Omega_0)[/inlmath] i da vazi da se ovde izvod trazi kao i u realnom slucaju. Sa [inlmath]\mathcal{H}(\Omega)[/inlmath] smo oznacili klasu holomorfnih funkcija na [inlmath]\Omega[/inlmath].

Inace zadatak se moze uraditi i primenom reziduuma, sto ces verovatno vrlo brzo i videti (verovatno jos niste radili). U nekom smislu ti si tu elipsu podelio na dve putanje i racun sveo na racunanje po njima. E sada, te dve putanje su homotopne sa pozitivnim kruznicama oko svake od te dve tacke, tj. sve se moze svesti na racunanje dva integrala po pozitivnim kruznicama oko svake tacke (pri cemu u unutrasnjosti od svake od te dve kruznice ne pripada ona druga tacka).
 
Postovi: 558
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 526 puta

Re: Integral po krivoj gama

Postod matija » Sreda, 06. Decembar 2017, 17:39

Jeste skroz sam propustio da naglasim da je kriva [inlmath]\gamma[/inlmath] pozitivno orijentisana i da se parametar [inlmath]t[/inlmath] krece [inlmath][0,2\pi][/inlmath]. Reziduum jos nisam radio, hvala ti za pomoc!
matija  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 21 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 15. Decembar 2017, 14:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs